Cho A = {1,3,3,3,5,5,5,5,5} và B = {1,3,5}. Đáp án nào dưới đây mô tả chính xác nhất mối quan hệ giữa A và B.

Tập hợp A + B là tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B (hoặc thuộc cả hai).

Ta có A = {2, 0, 3, 1, 3}. Vì trong tập hợp, các phần tử trùng nhau chỉ được liệt kê một lần, nên A có thể viết lại là A = {2, 0, 3, 1}.
Ta có B = {4, 2, 3}.
Vậy A + B = {2, 0, 3, 1} + {4, 2, 3} = {2, 0, 3, 1, 4}. Sắp xếp lại ta được {2, 0, 1, 4, 3}.

Vậy đáp án đúng là C.

Phân tích lời khai của từng người:

* Anh An: "Chị Bình có tội và anh Công vô tội." Điều này có nghĩa là: Bình có tội VÀ Công vô tội.
* Chị Bình: "Nếu anh An có tội thì anh Công có tội." Điều này có nghĩa là: Nếu An có tội THÌ Công có tội. (An có tội → Công có tội)
* Anh Công: "Tôi vô tội nhưng một trong 2 người kia có tội." Điều này có nghĩa là: Công vô tội VÀ (An có tội HOẶC Bình có tội).

Vì tất cả lời khai đều đúng sự thật, ta xét các trường hợp:

* Giả sử An có tội:
* Theo lời khai của An, Bình có tội và Công vô tội.
* Theo lời khai của Bình, nếu An có tội thì Công có tội. Điều này mâu thuẫn với lời khai của An.
* Vậy An không thể có tội.
* Giả sử Bình có tội:
* Theo lời khai của An, Bình có tội và Công vô tội (Đúng).
* Theo lời khai của Bình, vì An vô tội, lời khai của Bình luôn đúng.
* Theo lời khai của Công, Công vô tội và một trong hai người kia có tội (Bình có tội, đúng).
* Vậy Bình có tội là một khả năng.
* Giả sử Công có tội:
* Theo lời khai của An, Bình có tội và Công vô tội (Mâu thuẫn).
* Vậy Công không thể có tội.

Vậy chỉ có Bình là người có tội.

Để chứng minh "tích của 2 số hữu tỷ là một số hữu tỷ", ta sử dụng phương pháp chứng minh trực tiếp.

Giải thích:
* Số hữu tỷ: Một số hữu tỷ là số có thể biểu diễn dưới dạng phân số a/b, trong đó a và b là các số nguyên và b khác 0.
* Chứng minh trực tiếp: Phương pháp này bắt đầu từ các giả thiết đã biết hoặc được cho là đúng, sau đó sử dụng các quy tắc logic và các định lý đã được chứng minh trước đó để suy ra kết luận cần chứng minh.

Áp dụng vào bài toán:
Giả sử ta có hai số hữu tỷ là x = a/b và y = c/d, với a, b, c, d là các số nguyên và b, d khác 0.
Tích của hai số này là: x * y = (a/b) * (c/d) = (a*c) / (b*d).
Vì a, b, c, d là các số nguyên, nên a*c và b*d cũng là các số nguyên. Hơn nữa, vì b và d khác 0, nên b*d cũng khác 0. Do đó, (a*c) / (b*d) là một số hữu tỷ (vì nó có dạng phân số của hai số nguyên, với mẫu khác 0).

Như vậy, từ giả thiết (hai số hữu tỷ x và y), ta đã trực tiếp suy ra được kết luận (tích của chúng là một số hữu tỷ) mà không cần dùng đến các phương pháp chứng minh gián tiếp, phản chứng hay phân chia trường hợp.

Các phương án khác:
* Chứng minh gián tiếp: Thường sử dụng khi chứng minh trực tiếp gặp khó khăn, bằng cách chứng minh một mệnh đề tương đương đúng.
* Chứng minh phản chứng: Giả sử điều cần chứng minh là sai, sau đó dẫn đến mâu thuẫn, từ đó suy ra điều giả sử là sai và điều cần chứng minh là đúng.
* Chứng minh phân chia trường hợp: Chia bài toán thành các trường hợp khác nhau, rồi chứng minh kết luận đúng trong từng trường hợp.

Bài toán này liên quan đến lý thuyết đồ thị và cụ thể là định lý Ramsey. Ta xét một người A bất kỳ trong nhóm 6 người. Theo đề bài, A có thể là bạn hoặc thù với 5 người còn lại. Theo nguyên lý Dirichlet, A phải là bạn hoặc thù với ít nhất 3 người.

* Trường hợp 1: A là bạn với ít nhất 3 người, gọi 3 người đó là B, C, D. Nếu có bất kỳ cặp nào trong B, C, D là bạn của nhau, ví dụ B và C là bạn, thì ta có 3 người A, B, C là bạn của nhau. Ngược lại, nếu không có cặp nào trong B, C, D là bạn của nhau, thì B, C, D là thù của nhau. Vậy ta có 3 người là thù của nhau.

* Trường hợp 2: A là thù với ít nhất 3 người, gọi 3 người đó là E, F, G. Nếu có bất kỳ cặp nào trong E, F, G là thù của nhau, ví dụ E và F là thù, thì ta có 3 người A, E, F là thù của nhau. Ngược lại, nếu không có cặp nào trong E, F, G là thù của nhau, thì E, F, G là bạn của nhau. Vậy ta có 3 người là bạn của nhau.

Như vậy, trong mọi trường hợp, luôn tồn tại 3 người là bạn của nhau hoặc là thù của nhau.

Công thức tổ hợp chập r của n (ký hiệu C(n, r) hoặc $C_n^r$) có tính chất C(n, r) = C(n, n-r). Các phương án khác không đúng theo định nghĩa và tính chất của tổ hợp.