Cho \(det (A) = 3, det (B) = 1\). Tính det ((2AB)⁻¹), biết rằng A, B là ma trận vuông cấp 3.

\(\frac{1}{{24}}\)

\(\frac{2}{{3}}\)

\(\frac{8}{{3}}\)

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Ta có các công thức sau:

- det(AB) = det(A) * det(B)

- det(kA) = kⁿ * det(A) với A là ma trận vuông cấp n.

- det(A^-1) = 1 / det(A)

Do đó, det((2AB)⁻¹) = 1 / det(2AB) = 1 / (2³ * det(A) * det(B)) = 1 / (8 * 3 * 1) = 1 / 24

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 4

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 24:

Cho hai định thức \(A = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&{ - 5}&1\\ 1&{ - 3}&0&{ - 6}\\ 0&2&{ - 1}&2\\ 1&4&{ - 7}&6 \end{array}} \right|\) và \(A = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2&0&2\\ 1&{ - 3}&2&4\\ { - 5}&0&{ - 1}&{ - 7}\\ 1&{ - 6}&2&6 \end{array}} \right|\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để so sánh hai định thức A và B, ta cần thực hiện các phép biến đổi trên một trong hai định thức để xem có thể biến đổi thành định thức còn lại hay không.

Định thức A là: \(A = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&{ - 5}&1\\
1&{ - 3}&0&{ - 6}\\
0&2&{ - 1}&2\\
1&4&{ - 7}&6
\end{array}} \right|\)

Định thức B là: \(B = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4&2&0&2\\
1&{ - 3}&2&4\\
{ - 5}&0&{ - 1}&{ - 7}\\
1&{ - 6}&2&6
\end{array}} \right|\)

Ta nhận thấy dòng đầu tiên của B gấp 2 lần dòng đầu tiên của A. Tuy nhiên các dòng còn lại không có mối quan hệ tương tự rõ ràng. Để so sánh, ta có thể biến đổi định thức A.

Thực tế, ta có thể biến đổi định thức B như sau:

Đổi cột 1 cho cột 3, ta có định thức \(B' = -B = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&2&4&2\\
2&{ - 3}&1&4\\
{ - 1}&0&{ - 5}&{ - 7}\\
2&{ - 6}&1&6
\end{array}} \right|\)

Tuy nhiên, việc biến đổi này không giúp đơn giản hóa việc so sánh. Do đó, ta có thể tính định thức A và B một cách trực tiếp bằng các công cụ tính toán.

Sau khi tính toán (sử dụng phần mềm hoặc tính bằng tay), ta có kết quả: A = -24 và B = -48.

Như vậy, B = 2A.

Câu 25:

Cho \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0&0\\ 2&1&0\\ 4&3&1 \end{array}} \right]\). Tính det(A²⁰¹¹)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ma trận A là ma trận tam giác dưới, do đó định thức của A bằng tích các phần tử trên đường chéo chính.

det(A) = (-1) * 1 * 1 = -1.

Ta có công thức det(Aⁿ) = (det(A))ⁿ.

Vậy det(A²⁰¹¹) = (det(A))²⁰¹¹ = (-1)²⁰¹¹ = -1.

Câu 26:

Cho hai ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&2&1\\ 2&3&5 \end{array}} \right]\) và \(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&1\\ { - 2}&1&0\\ 1&0&0 \end{array}} \right]\). Tính det( A⁻¹. B2ⁿ⁺¹).

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để giải quyết bài toán này, ta cần tính định thức của ma trận A và B, sau đó áp dụng các quy tắc về định thức của ma trận nghịch đảo và tích của ma trận.

1. Tính det(A):
\(\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 5 \end{vmatrix} = 1(2*5 - 1*3) - 1(1*5 - 1*2) + 1(1*3 - 2*2) = 1(10 - 3) - 1(5 - 2) + 1(3 - 4) = 7 - 3 - 1 = 3\)

2. Tính det(B):
\(\det(B) = \begin{vmatrix} 3 & 4 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 1(4*0 - 1*0) - 0 + 0 = 1\), ta khai triển theo cột 3, do 2 phần tử bằng 0.
Hoặc tính bằng khai triển theo hàng 3: \(\det(B) = 1*(4*0 - 1*1) = 1*(0 - 1) = -1\) => sai. Tính lại:
\(\det(B) = 1 * (1*0 - 0*0) - 0 + 0 = 0\).
Tính theo hàng 1: \(3*(1*0 - 0*0) - 4*(-2*0 - 1*0) + 1*(-2*0 - 1*1) = -1\).

Vậy det(B) = -1.

3. Tính det(A^-1):
\(\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{3}\)

4. Tính det(B²ⁿ⁺¹):
\(\det(B^{2n+1}) = (\det(B))^{2n+1} = (-1)^{2n+1} = -1\)

5. Tính det(A^-1 * B²ⁿ⁺¹):
\(\det(A^{-1} B^{2n+1}) = \det(A^{-1}) * \det(B^{2n+1}) = \frac{1}{3} * (-1) = -\frac{1}{3}\)

Vậy đáp án là \(-\frac{1}{3}\).

Câu 27:

Cho ma trận \(A ∈ M_{4,5}( R), X ∈ M_{5,1}(R)\). Khẳng định nào đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ma trận A có kích thước 4x5, nghĩa là có 4 hàng và 5 cột. Ma trận X có kích thước 5x1. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0, với X là một vector cột 5x1. Vì số ẩn (5) lớn hơn số phương trình (4), nên hệ AX = 0 luôn có nghiệm không tầm thường (nghiệm khác không). Điều này xuất phát từ việc hạng của ma trận A tối đa là 4 (do chỉ có 4 hàng), và do đó, sẽ có ít nhất một biến tự do, dẫn đến vô số nghiệm, bao gồm cả nghiệm khác không. Do đó, khẳng định "Hệ AX = 0 có nghiệm khác không" là đúng.

Câu 28:

Giải hệ phương trình (tìm tất cả nghiệm) \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y - 2z = 2\\ 3x + 7y - 2z = 5\\ 2x + 5y + z = 3\\ x + 3y + 3z = 1 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để giải hệ phương trình này, ta có thể sử dụng phương pháp khử Gauss hoặc phương pháp thế. Ta sẽ sử dụng phương pháp khử Gauss:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y - 2z = 2 { (1)}\\
3x + 7y - 2z = 5 { (2)}\\
2x + 5y + z = 3 { (3)}\\
x + 3y + 3z = 1 { (4)}
\end{array} \right.\)

Lấy (2) - 3*(1), (3) - 2*(1), (4) - (1), ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y - 2z = 2 \\
y + 4z = -1 \\
y + 5z = -1 \\
y + 5z = -1
\end{array} \right.\)

Lấy (3) - (2) và (4) - (2), ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y - 2z = 2 \\
y + 4z = -1 \\
z = 0 \\
z = 0
\end{array} \right.\)

Thay z = 0 vào phương trình (2), ta có y + 4*0 = -1 => y = -1

Thay y = -1 và z = 0 vào phương trình (1), ta có x + 2*(-1) - 2*0 = 2 => x - 2 = 2 => x = 4

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (4, -1, 0).

Kiểm tra lại với các phương trình ban đầu:

(1): 4 + 2*(-1) - 2*0 = 4 - 2 = 2 (đúng)
(2): 3*4 + 7*(-1) - 2*0 = 12 - 7 = 5 (đúng)
(3): 2*4 + 5*(-1) + 0 = 8 - 5 = 3 (đúng)
(4): 4 + 3*(-1) + 3*0 = 4 - 3 = 1 (đúng)

Vì không có đáp án nào trùng với nghiệm (4, -1, 0) nên đáp án đúng là "3 câu kia đều sai".

Câu 29:

Tìm tất cả m để tất cả hai hệ không tương đương.

\(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 1z = 1{\rm{ }}\\ 3x + y + 5z = 6{\rm{ }}\\ 4x + 5y + mz = 1{\rm{ }}0 \end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + 2z = 1{\rm{ }}\\ 2x + 3y + 4z = 1{\rm{ }}\\ 3x + 4y + 5z = 3 \end{array} \right.\)

Lời giải: