100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 kèm đáp án chi tiết

Câu 1:

Tính \(\int {\cos x\cos 2xdx}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tính tích phân \(\int {\cos x\cos 2xdx}\), ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \(\cos a \cos b = \frac{1}{2}[\cos(a+b) + \cos(a-b)]\) Áp dụng công thức này, ta có: \(\cos x \cos 2x = \frac{1}{2}[\cos(x+2x) + \cos(x-2x)] = \frac{1}{2}[\cos 3x + \cos(-x)] = \frac{1}{2}[\cos 3x + \cos x]\) Vậy, \(\int {\cos x\cos 2xdx} = \int {\frac{1}{2}(\cos 3x + \cos x)dx} = \frac{1}{2}\int {(\cos 3x + \cos x)dx} = \frac{1}{2}(\int {\cos 3xdx} + \int {\cos xdx})\) Ta có: \(\int {\cos 3xdx} = \frac{1}{3}\sin 3x + C_1\) \(\int {\cos xdx} = \sin x + C_2\) Do đó, \(\int {\cos x\cos 2xdx} = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}\sin 3x + \sin x) + C = \frac{1}{6}\sin 3x + \frac{1}{2}\sin x + C\) Sử dụng công thức \(\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x\), ta có: \(\frac{1}{6}\sin 3x + \frac{1}{2}\sin x = \frac{1}{6}(3\sin x - 4\sin^3 x) + \frac{1}{2}\sin x = \frac{1}{2}\sin x - \frac{2}{3}\sin^3 x + \frac{1}{2}\sin x = \sin x - \frac{2}{3}\sin^3 x\) Vậy \(\int {\cos x\cos 2xdx} = - \frac{2}{3}\sin^3 x + \sin x + C\). Vậy đáp án đúng là phương án C.

Câu 2:

Tính \(\int {\cot 5xdx}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có \(\int {\cot 5xdx} = \int {\frac{{\cos 5x}}{{\sin 5x}}dx} \)

Đặt \(t = \sin 5x \Rightarrow dt = 5\cos 5xdx \Rightarrow \cos 5xdx = \frac{1}{5}dt\)

Khi đó \(\int {\frac{{\cos 5x}}{{\sin 5x}}dx} = \frac{1}{5}\int {\frac{{dt}}{t}} = \frac{1}{5}\ln \left| t \right| + C = \frac{1}{5}\ln \left| {\sin 5x} \right| + C\)

Câu 3:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{4}{x},y = 0,x = 3,x = 6\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{4}{x},y = 0,x = 3,x = 6\) được tính bằng tích phân xác định sau: \[S = \int_{3}^{6} \frac{4}{x} dx = 4 \int_{3}^{6} \frac{1}{x} dx = 4 \ln|x| \Big|_{3}^{6} = 4(\ln 6 - \ln 3) = 4 \ln \frac{6}{3} = 4 \ln 2\] Vậy, diện tích hình phẳng cần tìm là \(4 \ln 2\).

Câu 4:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} - x,\,\,x - y + 3 = 0\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong, ta cần tìm giao điểm của chúng và tính tích phân. 1. **Tìm giao điểm:** Giải phương trình \({x^2} - x = x + 3\) \(\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0\) \(\Leftrightarrow (x - 3)(x + 1) = 0\) Vậy giao điểm là \(x = -1\) và \(x = 3\). 2. **Tính tích phân:** Diện tích hình phẳng là: \(S = \int_{ - 1}^3 |(x^2 - x) - (x - 3)| dx = \int_{ - 1}^3 |x^2 - 2x - 3| dx\) Vì \(x^2 - 2x - 3 \le 0\) trên đoạn \([-1, 3]\), ta có: \(S = \int_{ - 1}^3 -(x^2 - 2x - 3) dx = \int_{ - 1}^3 (-x^2 + 2x + 3) dx\) \(S = [-\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + 3x]_{-1}^3 = (-\frac{{27}}{3} + 9 + 9) - (\frac{1}{3} + 1 - 3) = (-9 + 18) - (\frac{1}{3} - 2) = 9 - (\frac{1}{3} - \frac{6}{3}) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{{27}}{3} + \frac{5}{3} = \frac{{32}}{3}\) Vậy diện tích hình phẳng là \(\frac{{32}}{3}\).

Câu 5:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \({y^3} - x = 0,\,y = 1,\,x = 8\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \({y^3} - x = 0,\,y = 1,\,x = 8\), ta cần xác định cận tích phân và hàm số cần tích phân. Từ phương trình \(y^3 - x = 0\), ta có \(x = y^3\). Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường \(x = y^3\), \(y = 1\) và \(x = 8\). Do \(x = y^3\), khi \(x = 8\) thì \(y^3 = 8\), suy ra \(y = 2\). Diện tích cần tìm là tích phân từ y = 1 đến y = 2 của (8 - y^3) dy. Ta có: \(S = \int_1^2 (8 - y^3) dy = \left[8y - \frac{y^4}{4}\right]_1^2 = \left(8(2) - \frac{2^4}{4}\right) - \left(8(1) - \frac{1^4}{4}\right) = (16 - 4) - (8 - \frac{1}{4}) = 12 - 8 + \frac{1}{4} = 4 + \frac{1}{4} = \frac{16}{4} + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}\) Vậy diện tích hình phẳng là \(\frac{{17}}{4}\).

Câu 6:

Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + \ln 2x} }}}\)

Lời giải: