Tích phân suy rộng \(\int\limits_2^4 {\frac{{dx}}{{\sqrt {x - 2} }}}\) có giá trị là:

Chuỗi số \(\sum\limits_{n = 1}^\infty 3^n\) là một chuỗi số dương, trong đó mỗi số hạng là \(3^n\). Ta có thể thấy rằng các số hạng của chuỗi tăng lên rất nhanh khi \(n\) tăng. Điều này có nghĩa là tổng của chuỗi sẽ không hội tụ về một giá trị hữu hạn. Để chứng minh chuỗi phân kỳ, ta có thể sử dụng tiêu chuẩn so sánh hoặc tiêu chuẩn D'Alembert (tỉ số). Ở đây, ta dùng tiêu chuẩn D'Alembert: Xét \(a_n = 3^n\), ta có: \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}}{3^n} = \lim_{n \to \infty} 3 = 3 > 1\) Vì giới hạn này lớn hơn 1, theo tiêu chuẩn D'Alembert, chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty 3^n\) phân kỳ. Do đó, phát biểu đúng là "Chuỗi phân kỳ".

Xét chuỗi số \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{{3n + 1}}{{{3^n}}}} \right)} ^n\). Ta sử dụng tiêu chuẩn Cauchy để xét sự hội tụ của chuỗi. Đặt \(a_n = {\left( {\frac{{3n + 1}}{{{3^n}}}} \right)} ^n\). Khi đó, \(\sqrt[n]{{\left| {{a_n}} \right|}} = \sqrt[n]{{\left| {{{\left( {\frac{{3n + 1}}{{{3^n}}}} \right)}^n}} \right|}} = \frac{{3n + 1}}{{{3^n}}}\). Tính giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\left| {{a_n}} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{3n + 1}}{{{3^n}}} = 0 < 1\). Vậy, chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy.

The radius of convergence, R, of the power series ∑ (x^n / (2^n + 4^n)) can be found using the ratio test or the root test. Using the root test: 1/R = lim (n→∞) |a_n|^(1/n) where a_n = 1 / (2^n + 4^n). So, 1/R = lim (n→∞) (1 / (2^n + 4^n))^(1/n) = lim (n→∞) 1 / (2^n + 4^n)^(1/n). Since 4^n < 2^n + 4^n < 2 * 4^n, we have (4^n)^(1/n) < (2^n + 4^n)^(1/n) < (2 * 4^n)^(1/n), which simplifies to 4 < (2^n + 4^n)^(1/n) < 4 * 2^(1/n). As n approaches infinity, 2^(1/n) approaches 1. Therefore, lim (n→∞) (2^n + 4^n)^(1/n) = 4. Thus, 1/R = 1/4, which implies R = 4. The radius of convergence is 4.

Công thức khai triển Maclaurin của cos(x) là: cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ... Trong đó, 2! = 2 * 1 = 2 và 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24. Do đó, khai triển Maclaurin của cos(x) đến x^4 là: cos(x) = 1 - x^2/2 + x^4/24 + o(x^5). Ở đây o(x^5) biểu thị các số hạng bậc cao hơn của x (bắt đầu từ x^5).

Ta có: \(I = \int {\frac{{2dx}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 5} }}} = 2\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{(x + 2)}^2} + 1} }}}\) Đặt \(x + 2 = \tan t \Rightarrow dx = \frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}\) khi đó: \(I = 2\int {\frac{{\frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}}}{{\sqrt {{\tan }^2t + 1} }}} = 2\int {\frac{{\frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}}}{{\frac{1}{{\cos t}}}}} = 2\int {\frac{{dt}}{{\cos t}}} = 2\int {\frac{{\cos tdt}}{{{{\cos }^2}t}}} = 2\int {\frac{{\cos tdt}}{{1 - {{\sin }^2}t}}} \) \(= \int {\left( {\frac{1}{{1 - \sin t}} + \frac{1}{{1 + \sin t}}} \right)dt} = 2\ln \left| {\frac{{1 + \sin t}}{{1 - \sin t}}} \right| + C\) Hoặc có thể sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng: \(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}} = \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + {a^2}} } \right| + C\) Khi đó: \(I = 2\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{(x + 2)}^2} + 1} }}} = 2\ln \left| {x + 2 + \sqrt {{{(x + 2)}^2} + 1} } \right| + C = 2\ln \left| {x + 2 + \sqrt {{x^2} + 4x + 5} } \right| + C\)