Xét các số phức \(z=a+bi,\,\,\left( a,\,\,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(\left| z-2+3i \right|=4\) và \(\left| z+1-4i \right|+\left| z-9 \right|\) đạt GTLN. Khi đó \(5a-2b\) bằng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \({{z}_{1}}=-1+4i,\,\,{{z}_{2}}=9\).
Gọi \(M,\,\,B,\,\,C\) lần lượt là điểm biểu diễn các số phức \(z,\,\,{{z}_{1}}\) và \({{z}_{2}}\).
Khi đó \(M\left( a;b \right),\,\,B\left( -1;4 \right)\) và \(C\left( 9;0 \right)\).
Gọi \(H\) là trung điểm \(BC\) thì \(H\left( 4;2 \right)\).
Ta có \(\left| z-2+3i \right|=4\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+3 \right)}^{2}}=16\) nên \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( 2;-3 \right)\), bán kính \(R=4\).
Dễ thấy \(IB>R,\,\,IC>R\) nên hai điểm \(B,\,\,C\) đều nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right)\).
Do \(\overrightarrow{IH}=\left( 2;5 \right),\,\,\overrightarrow{BC}=\left( 10;-4 \right)\) nên \(\overrightarrow{IH}.\overrightarrow{BC}=0\)
Suy ra \(I\) thuộc trung trực \(BC\).
Do đó, nếu \(IH\) cắt \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) sao cho \(I\) nằm giữa \(M\) và \(H\) thì \(MB+MC\) lớn nhất.
Vì với mọi điểm \(N\) khác \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) thì
\(NB+NC\le \sqrt{2\left( N{{B}^{2}}+N{{C}^{2}} \right)}=\sqrt{2\left( 2N{{H}^{2}}+\frac{B{{C}^{2}}}{2} \right)}=\sqrt{4N{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}\).
Chú ý rằng \(MB+MC=2\sqrt{M{{H}^{2}}+{{\left( \frac{BC}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{4M{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}>\sqrt{4N{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}\)
nên \(MB+MC>NB+NC\).
.PNG)
Vậy điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow{IM}=-\frac{R}{IH}.\overrightarrow{IH}\) (1)
trong đó \(\overrightarrow{IM}=\left( a-2;b+3 \right),\,\,\overrightarrow{IH}=\left( 2;5 \right),\,\,R=4,\,\,IH=\sqrt{29}\).
Do đó (1) tương với
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a - 2 = \frac{{ - 4}}{{\sqrt {29} }}.2\\ b + 3 = \frac{{ - 4}}{{\sqrt {29} }}.5 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5a = 10 - \frac{{40}}{{\sqrt {29} }}\\ 2b = - 6 - \frac{{40}}{{\sqrt {29} }} \end{array} \right.\\ \Rightarrow 5a - 2b = 16 \end{array}\)
Vậy \(5a-2b=16\).
Chọn C
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Thủ Thiêm
Câu hỏi liên quan
-
Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(m\) để hàm số \(f\left( x \right)=3x+m\sqrt{{{x}^{2}}+1}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
-
Giả sử \(f\left( x \right)\) là hàm có đạo hàm liên tục trên khoảng \(\left( 0;\pi \right)\) và \(f'\left( x \right)\sin x=x+f\left( x \right)\cos x,\,\,\,\forall x\in \left( 0;\pi \right).\) Biết \(f\left( \frac{\pi }{2} \right)=1,\,\,f\left( \frac{\pi }{6} \right)=\frac{1}{12}\left( a+b\ln 2+c\pi \sqrt{3} \right)\), với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên. Giá trị \(a+b+c\) bằng?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình. Hỏi phương trình \(2f\left( x \right)=5\) có bao nhiêu nghiệm trên đoạn \(\left[ -1;2 \right]\)?
-
Cho hàm số \(y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\) (với \(a,b,c,d\in \mathbb{R}\)) có đồ thị như hình:
.PNG)
Có bao nhiêu số dương trong các số \(a,b,c,d\)?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(\Delta \) là giao tuyến của 2 mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x+y+z+1=0\) và \(\left( \beta \right):x+2y+3z+4=0.\) Một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) có tọa độ là?
-
Họ các nguyên hàm của HS \(f(x)=\sin 3x\) là?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số đa thức bậc bốn. Biết \(f\left( 0 \right)=0\) và ĐTHS \(y={f}'\left( x \right)\) có hình vẽ:
.PNG)
Tập nghiệm của phương trình \(f\left( \left| 2\sin x-1 \right|-1 \right)=m\) (với \(m\) là tham số) trên đoạn \(\left[ 0;3\pi\right]\) có tất cả bao nhiêu phần tử?
-
Có tất cả bao nhiêu số phức \(z\) đôi một khác nhau thỏa mãn \(\left| z+i \right|=2\) và \({{\left( z-2 \right)}^{4}}\) là số thực?
-
Tìm tập xác định của hàm số \(y=\log x+\log \left( 3-x \right)\)?
-
Một chiếc xe đua \({{F}_{1}}\) đạt tới vận tốc lớn nhất là \(360\,km/h\). Đồ thị dưới biểu thị vận tốc \(v\) của xe trong \(5\) giây đầu tiên kể từ lúc xuất phát. Đồ thị trong \(2\) giây đầu tiên là một phần của parabol đỉnh tại gốc tọa độ \(O\), giây tiếp theo là đoạn thẳng và sau đúng \(3\) giây thì xe đạt vận tốc lớn nhất. Biết rằng mỗi đơn vị trục hoành biểu thị \(1\) giây, mỗi đơn vị trục tung biểu thị \(10\,m/s\) và trong \(5\) giây đầu xe chuyển động theo đường thẳng. Hỏi trong \(5\) giây đó xe đã đi được quãng đường là bao nhiêu?
-
Cho khối lăng trụ tam giác \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có cạnh \(A{A}'=2a\) và tạo với mp đáy 1 góc bằng \(60{}^\circ \), diện tích tam giác \(ABC\) bằng \({{a}^{2}}\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) bằng?
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), \(O\) là tâm mặt đáy. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(SO\) và \(CD\) bằng?
-
Giả sử \(f\left( x \right)\) là hàm liên tục \(\left( 0;\,+\infty \right)\) và diện tích hình phẳng được kẻ sọc bằng \(3\). Tích phân \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)\text{d}x}\) bằng?
.PNG)
-
Cho các số phức sau \(z=2+i\) và \(w=3-i.\) Phần thực của số phức \(z+w\) bằng?
-
Đạo hàm của hàm số sau \(f\left( x \right)=\frac{{{2}^{x}}-1}{{{2}^{x}}+1}\) là?
-
Gọi \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\) là các nghiệm phức của phương trình sau \({{z}^{2}}-3z+5=0\). Môđun của số phức \(\left( 2{{{\bar{z}}}_{1}}-3 \right)\left( 2{{{\bar{z}}}_{2}}-3 \right)\) bằng?
-
Cho góc ở đỉnh của 1 hình nón bằng \({{60}^{0}}\). Gọi \(r,h,l\) lần lượt là bán kính đáy, đường cao, đường sinh của hình nón đó. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho khối trụ có đường cao bằng \(2\), chu vi của thiết diện qua trục gấp \(3\) lần đường kính đáy. Thể tích của khối trụ đó bằng?
-
Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(a\) để phương trình \({{z}^{2}}-\left( a-3 \right)z+{{a}^{2}}+a=0\) có hai nghiệm phức \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\)thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\)?
-
Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình. Phương trình \(f\left( {{x}^{2}} \right)+1=0\) có bao nhiêu nghiệm?
