Một hình trụ có  độ dài đường cao bằng 3, các đường tròn đáy lần lượt là (O;1) và (O';1). Giả sử AB là đường kính cố định của (O;1) và MN  là đường kính thay đổi trên (O';1). Tìm giá trị lớn nhất \(V_{max}\) của thể tích khối tứ diện ABCD

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị \(f'(x)\) như hình vẽ

Hàm số \(y = f\left( {1 - x} \right) + \frac{{{x^2}}}{2} - x\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Gọi M, N là hai điểm di động trên đồ thị (C) của hàm số \(y =  - {x^3} + 3{x^2} - x + 4\) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M và N luôn song song với nhau. Hỏi khi M, N thay đổi, đường  thẳng MN luôn đi qua nào trong các điểm dưới đây ?

Giá trị của biểu thức \(M = {\log _2}2 + {\log _2}4 + {\log _2}8 + ... + {\log _2}256\) bằng

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy giả sử điểm \(A(a;b)\) thuộc đường thẳng \(d:\,\,x - y - 3 = 0\) và cách \(\Delta :\,\,2x - y + 1 = 0\) một khoảng bằng \(\sqrt 5 .\) Tính \(P=ab\) biết \(a>0\)

Cho \(a, b\) là các số thực dương thỏa mãn \(b>1\) và \(\sqrt a  \le b < a\) . Tìm giá trị  nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _{\frac{a}{b}}}a + 2{\log _{\sqrt b }}\left( {\frac{a}{b}} \right).\)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho  elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Điểm \(M \in \left( E \right)\) sao cho \(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^0}.\) Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(M{F_1}{F_2}.\)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để hàm số \(y = \left| {x - 1} \right| + \left| {x + 3} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Kí hiệu \(\max \left\{ {a;b} \right\}\) là số lớn nhất trong hai số \(a, b\) Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\max \left\{ {{{\log }_2}x;{\rm{ }}{{\log }_{\frac{1}{3}}}x} \right\} < 1.\)

Một người mỗi tháng đều đặn gửi vào ngân hàng một khoản tiền T theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,6% mỗi tháng. Biết sau 15 tháng, người đó có số tiền là 10 triệu đồng. Hỏi số tiền T gần với số tiền nào nhất trong các số sau.

Biết rằng tập các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(\left( {m - 3} \right){9^x} + 2\left( {m + 1} \right){3^x} - m - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt là một khoảng \(\left( {a;\,b} \right)\). Tính tích \(a.b\).

Số cạnh của hình mười hai mặt đều là

Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(y = 2x + 1\) cắt đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - x + 3\) tại hai điểm A và B với tọa độ được kí hiệu lần lượt là \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) trong đó \({x_B} < {x_A}\). Tìm \({x_B} + {y_B}\)?

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {\frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}} \right|\)  trên \(\left[ {1;2} \right]\) bằng 2. Số phần tử của tập S là

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 2{x^3} + 3{x^2} - 12x + 2\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) thuộc khoảng nào dưới đây?

Với \(n\) là số tự nhiên lớn hơn 2, đặt \({S_n} = \frac{1}{{C_3^3}} + \frac{1}{{C_4^3}} + \frac{1}{{C_5^4}} + ... + \frac{1}{{C_n^3}}\). Tính \(S_n\)

Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng \(2a^3\) và đáy ABCD là hình bình hành. Biết diện tích tam giác SAB bằng \(a^2\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SBvà CD

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + 4x + 2\) đồng biến trên tập xác định của nó ?

Cho hình chóp S.ABC có \(SA = a,\,\,SB = 2a,\,\,SC = 4a\) và \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA} = {60^0}.\) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo \(a\).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^{2016}} + x - 2}}{{\sqrt {2018x + 1}  - \sqrt {x + 2018} }}}&{{\rm{khi}}}&{x \ne 1}\\
k&{{\rm{khi}}}&{x = 1}
\end{array}} \right.\) . Tìm k để hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x=1\).

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{2\sin x + 3}}{{\sin x + 1}}\)trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là