Gọi M, N là hai điểm di động trên đồ thị (C) của hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - x + 4\) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M và N luôn song song với nhau. Hỏi khi M, N thay đổi, đường thẳng MN luôn đi qua nào trong các điểm dưới đây ?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right),N\left( {{x_N};{y_N}} \right)\)
Do \(M,N \in \left( C \right)\) nên \(M\left( {{x_M}; - x_M^3 + 3x_M^2 - {x_M} + 4} \right),N\left( {{x_N}, - x_N^3 + 3x_N^2 - {x_N} + 4} \right)\)
Theo giả thiết tiếp tuyến của (C) tại M và N luôn song song với nhau nên ta có:
\(\begin{array}{l}
y'\left( {{x_M}} \right) = y'\left( {{x_N}} \right) \Leftrightarrow - 3{x_M}^2 + 6{x_M} - 1 = - 3{x_N}^2 + 6{x_N} - 1 \Leftrightarrow - 3{x_M}^2 + 6{x_M} + 3{x_N}^2 - 6{x_N} = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x_N} - {x_M}} \right)\left( {{x_N} + {x_M} - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_N} - {x_M} = 0\\
{x_N} + {x_M} = 2
\end{array} \right.
\end{array}\)
Do M và N phân biệt nên \({x_N} \ne {x_M}\) , suy ra \(x_N+x_M=2\)
Ta có
\(\begin{array}{l}
{y_M} + {y_N} = - \left( {{x_M}^3 + {x_N}^3} \right) + 3\left( {{x_M}^2 + {x_N}^2} \right) - \left( {{x_M} + {x_N}} \right) + 8\\
= - \left[ {{{\left( {{x_M} + {x_N}} \right)}^3} - 3\left( {{x_M} + {x_N}} \right){x_M}{x_N}} \right] + 3\left[ {{{\left( {{x_M} + {x_N}} \right)}^2} - 2{x_M}{x_N}} \right] - \left( {{x_M} + {x_N}} \right) + 8\\
= - \left[ {{2^3} - 6{x_M}{x_N}} \right] + 3\left[ {{2^2} - 2{x_M}{x_N}} \right] - 2 + 8 = 10
\end{array}\)
Từ đây suy ra đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định là trung điểm Q(1;5) của MN
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Tập xác định của \(y = \ln \left( { - {x^2} + 5x - 6} \right)\) là
-
Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng ?
-
Khối cầu bán kính \(R = 2a\) có thể tích là
-
Kí hiệu \(\max \left\{ {a;b} \right\}\) là số lớn nhất trong hai số \(a, b\) Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\max \left\{ {{{\log }_2}x;{\rm{ }}{{\log }_{\frac{1}{3}}}x} \right\} < 1.\)
-
Phương trình: \({\log _3}\left( {3x - 2} \right) = 3\) có nghiệm là
-
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Điểm \(M \in \left( E \right)\) sao cho \(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^0}.\) Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(M{F_1}{F_2}.\)
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 2018;\,\,2018} \right]\) để phương trình
\(\left( {m + 1} \right){\sin ^2}x - \sin 2x + \cos 2x = 0\) có nghiệm ?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^{2016}} + x - 2}}{{\sqrt {2018x + 1} - \sqrt {x + 2018} }}}&{{\rm{khi}}}&{x \ne 1}\\
k&{{\rm{khi}}}&{x = 1}
\end{array}} \right.\) . Tìm k để hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x=1\). -
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 2{x^3} + 3{x^2} - 12x + 2\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) thuộc khoảng nào dưới đây?
-
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = a,\,\,AA' = 2a.\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và A'C
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{2\sin x + 3}}{{\sin x + 1}}\)trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là
-
Với \(n\) là số tự nhiên lớn hơn 2, đặt \({S_n} = \frac{1}{{C_3^3}} + \frac{1}{{C_4^3}} + \frac{1}{{C_5^4}} + ... + \frac{1}{{C_n^3}}\). Tính \(S_n\)
-
Cho khối nón có bán kính đáy \(r = \sqrt 3 \) và chiều cao \(h=4\). Tính thể tích V của khối nón đã cho.
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị \(f'(x)\) như hình vẽ
.png)
Hàm số \(y = f\left( {1 - x} \right) + \frac{{{x^2}}}{2} - x\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
-
Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng \(2a^3\) và đáy ABCD là hình bình hành. Biết diện tích tam giác SAB bằng \(a^2\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SBvà CD
-
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {\frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}} \right|\) trên \(\left[ {1;2} \right]\) bằng 2. Số phần tử của tập S là
-
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy giả sử điểm \(A(a;b)\) thuộc đường thẳng \(d:\,\,x - y - 3 = 0\) và cách \(\Delta :\,\,2x - y + 1 = 0\) một khoảng bằng \(\sqrt 5 .\) Tính \(P=ab\) biết \(a>0\)
-
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\) có bao nhiêu đường tiệm cận?
-
Giá trị của biểu thức \(M = {\log _2}2 + {\log _2}4 + {\log _2}8 + ... + {\log _2}256\) bằng
-
Cho hàm số \(y=f(x)\). Hàm số \(y=f'(x)\) có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên.
.png)
Trong các khẳng định sau, có tất cả bao nhiêu khẳng định đúng ?
(I) : Trên K, hàm số \(y=f(x)\) có hai điểm cực trị.
(II) : Hàm số \(y=f(x)\) đạt cực đại tại \(x_3\).
(III) : Hàm số \(y=f(x)\) đạt cực tiểu tại \(x_1\).
