Đồ thị hàm số \(\left( C \right):y=\frac{2x+1}{x+1}\) cắt đường thẳng \(d:y=x+m\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) thỏa mãn \(\Delta OAB\) vuông tại \(O\) khi \(m=\frac{a}{b}.\) Biết \(a,b\) là nguyên dương; \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính \(S=a+b.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(d\) là: \(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = x + m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 1 \ne 0\\ 2x + 1 = \left( {x + 1} \right)\left( {x + m} \right) \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne - 1\\ {x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m - 1 = 0\left( 1 \right) \end{array} \right.\)
\(\left( C \right)\) cắt \(d\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(-1\text{ }({{x}_{A}},{{x}_{B}}\) là nghiệm phương trình
\(\left( 1 \right)) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\Delta _{\left( 1 \right)}} > 0\\ {\left( { - 1} \right)^2} + \left( {m - 1} \right)\left( { - 1} \right) + m - 1 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right) > 0\\ 1 - m + 1 + m - 1 \ne 0 \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {m - 1} \right)\left( {m - 5} \right) > 0\\ 1 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m < 1\\ m > 5 \end{array} \right.\)
Theo định lí Viet: \({{x}_{A}}+{{x}_{B}}=1-m,{{x}_{A}}{{x}_{B}}=m-1\)
\(A\left( {{x}_{A}};{{x}_{A}}+m \right),B\left( {{x}_{B}};{{x}_{B}}+m \right)\)
\(\overrightarrow{OA}=\left( {{x}_{A}};{{x}_{A}}+m \right),\overrightarrow{OB}=\left( {{x}_{B}},{{x}_{B}}+m \right)\)
\(\Delta OAB\) vuông tại \(O\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow {{x}_{A}}.{{x}_{B}}+\left( {{x}_{A}}+m \right)\left( {{x}_{B}}+m \right)=0\)
\(\Leftrightarrow 2{{x}_{A}}{{x}_{B}}+m\left( {{x}_{A}}+{{x}_{B}} \right)+{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow 2m-2+m\left( 1-m \right)+{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow 3m-2=0\Leftrightarrow m=\frac{2}{3}\) (nhận)
Theo đề bài ta có \(a=2,b=3.\) Vậy \(S=5.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Yên Dũng số 2 lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Số điểm cực trị của hàm số \(y=2{{x}^{3}}-6x+3\) là
-
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{34}{\sqrt{{{\left( {{x}^{3}}-3x+2m \right)}^{2}}}+1}\) trên đoạn \(\left[ 0;3 \right]\) bằng 2. Tổng tất cả các phần tử của \(S\) bằng
-
Cho hàm số \(y=\frac{5x+9}{x-1}\) khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu, mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương án đúng, mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên 1 trong 4 phương án ở mỗi câu. Tính xác suất để thí sinh đó được 6 điểm
-
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên thuộc đoạn [-10;10] của m để hàm số \(y={{x}^{3}}-3(2m+1){{x}^{2}}+(12m+5)x+2\) đồng biến trên khoảng \((2;+\infty )\). Số phần tử của S bằng
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông và \(AB=BC=a,AA'=a\sqrt{2},M\) là trung điểm \(BC. \) Tính khoảng cách \(d\) của hai đường thẳng \(AM\) và \(B'C. \)
-
Cho tứ diện \(O.ABC\) có \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc và \(OA=3a,OB=OC=2a.\) Thể tích \(V\) khối tứ diện đó là
-
Trong khai triển \({{(a+b)}^{n}}\), số hạng tổng quát của khai triển là.
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây là đúng
.png)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right),\) hàm số \(y=f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên
.jpg.png)
Bất phương trình \(f\left( x \right)<2x+m\) (\(m\) là tham số thực) có nghiệm đúng với mọi \(x\in \left( 0;2 \right)\) khi và chỉ khi
-
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(A. \) Hình chiếu vuông góc của điểm \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) trùng với trọng tâm tam giác \(\left( ABC \right).\) Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\) bằng \(\frac{\sqrt{17}}{6}a,\) cạnh bên \(AA'\) bằng \(2a.\) Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) biết \(AB<a\sqrt{3}.\)
-
Tìm số hạng đều tiên của cấp số nhân \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với công bội \(q=2,{{u}_{8}}=384.\)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)=x{{\left( x-2 \right)}^{2}}\left( 3x-2 \right),\forall x\in \mathbb{R}.\) Số điểm cực trị của hàm số \(y=f\left( x \right)\) bằng
-
Trong các hình sau đây, có bao nhiêu hình được gọi là hình đa diện ?
.PNG)
-
Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng \({{60}^{0}},\) bán kính đáy bằng \(a.\) Diện tích xung quanh của hình nón bằng
-
Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào?
.png)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây
.png)
Số nghiệm thực của phương trình \(3f\left( x \right)+2=0\) là
-
Số giao điểm của đồ thị \(y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-2\) và trục hoành là
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+5 \right)x-2{{m}^{2}}+14\) có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục \(Ox?\)
-
Xét các số thực dương \(a\) và \(b\) thỏa mãn \({{\log }_{5}}\left( {{5}^{a}}{{.25}^{b}} \right)={{5}^{{{\log }_{5}}a+{{\log }_{5}}b+1}}.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
