Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) nhỏ hơn \(500\) sao cho ứng với mỗi \(y\) tồn tại ít nhất 9 số nguyên \(x\) thỏa mãn bất phương trình sau \({{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-y+1\le {{\log }_{2}}\frac{\sqrt{2y+1}}{{{x}^{2}}+1}\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có bất phương trình \(\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}-y\le {{\log }_{2}}{{\left( 2y+1 \right)}^{\frac{1}{2}}}-{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\)
\(\Leftrightarrow 2{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}-2y\le {{\log }_{2}}\left( 2y+1 \right)-{{\log }_{2}}{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}\).
\(\Leftrightarrow 2{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}\le {{\log }_{2}}\left( 2y+1 \right)+2y+1-1\)
\(\Leftrightarrow 2{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}\left[ 2{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}} \right]\le {{\log }_{2}}\left( 2y+1 \right)+\left( 2y+1 \right)\)
Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right)=t+{{\log }_{2}}t\) với \(t\in \left( 0;+\infty \right)\).
Ta có: \(f'\left( t \right)=1+\frac{1}{t\ln 2}>0\)\(\forall t>0\Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( 0;+\infty \right)\).
Do đó \(\left( * \right)\Leftrightarrow 2{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}\le 2y+1\) \(\Leftrightarrow 2{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+1\le 2y\).
Đặt \(g\left( x \right)=2{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+1\) với \(x\in \mathbb{R}\).
Ta có: \(g'\left( x \right)=8{{x}^{3}}+8x\). Cho \(g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0\).
Lập bảng biến thiên ta có:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(2y\ge g(4)={{2.4}^{4}}+{{4.4}^{2}}+1=577\)\(\Rightarrow y\ge \frac{577}{2}=288,5\).
Do
\(\left\{ \begin{align} & y\in {{\mathbb{Z}}^{+}} \\ & y<500 \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow y\in \left\{ 289;290;...;499 \right\}\) \(\Rightarrow \) Có tất cả \(211\) giá trị nguyên thỏa mãn.
Chọn B
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Trần Cao Vân
Câu hỏi liên quan
-
Một hình nón có bán kính đáy bằng \(3\), đường sinh bằng \(5\). Diện tích xung quanh Sxq của hình nón là?
-
Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ tứ giác đều có chiều cao bằng \(3cm\), cạnh đáy bằng \(5cm\) là?
-
Xét tích phân sau đây \(I=\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\sin 2x}{1+\cos x}dx}\). Nếu đặt \(t=\cos x\) thì tích phân \(I\) trở thành?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên tập \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)\text{d}x}=-5\). Tính tích phân sau \(I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}\)?
-
Trong mặt phẳng tọa độ \(O\,xy,\,\) tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn \(3+\overline{iz}\) là số thuần ảo, là 1 đường thẳng có phương trình?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có BBT như sau:
.png)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào?
-
Xét các số phức \(w,{{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}+1+2i \right|+\left| {{z}_{1}}-5-6i \right|=10\) và \(\left| w+i \right|=\frac{3\sqrt{5}}{5}\), \(5w=\left( 2+i \right)\left( {{z}_{2}}-4 \right)\). Gọi \(a\) là GTNN của biểu thức \(P=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho số phức \(z=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}i\). Tìm tọa độ điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) là?
-
Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\). Góc giữa 2 đường thẳng \(B{A}'\) và \({B}'{D}'\) bằng?
-
Cho \(a,b,c\) là các số dương khác \(1\) thoả mãn \({{\log }_{a}}b=2,\,{{\log }_{b}}c=3\). Tính giá trị của \({{\log }_{c}}a\)?
-
Tính đạo hàm của hàm số sau đây \(y={{3}^{2x+1}}\)?
-
Số nghiệm thực phân biệt của phương trình sau đây \({{5}^{{{x}^{2}}}}{{3}^{{{x}^{2}}+1}}=1\) là?
-
Trong không gian \(Oxyz\), mp \(\left( Oxz \right)\) có phương trình là?
-
Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn điều kiện \(x\le 2022\) và \(3\left( {{9}^{y}}+2y \right)+2\le x+{{\log }_{3}}{{\left( x+1 \right)}^{3}}\)?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right)=\left( 2x+1 \right){{e}^{x-f\left( x \right)}}\) với mọi \(x\in \left( \frac{1}{2};+\infty \right)\) và \(f\left( 1 \right)=1\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để bất phương trình sau \({{3}^{x}}\ge \left( f\left( x \right)-m \right)\ln 3\) nghiệm đúng với mọi \(x\in \left( \frac{1}{2};+\infty \right)\)?
-
Tìm mặt phẳng chứa \(\left( \Delta \right)\) và song song với \(AB\) có phương trình là?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+3}{2}\). Trong các vectơ dưới đây, vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\)?
-
Với \(a\) là số thực dương tuỳ ý, giá trị của \(\log \left( \frac{10}{{{a}^{2}}} \right)\) bằng?
-
Trong không gian cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}=9\). Từ điểm \(A\left( 4;0;1 \right)\) nằm ngoài mặt cầu kẻ 1 tiếp tuyến bất kỳ đến \(\left( S \right)\) với tiếp điểm \(M\). Tập hợp tất cả các điểm \(M\) là đường tròn có bán kính bằng?
-
Cho hình nón đỉnh \(S\) có bán kính đáy bằng \(5a\). Gọi \(A\) và \(B\) là 2 điểm thuộc đường tròn đáy sao cho \(AB=8a\). Biết mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) tạo với đáy một góc \({{60}^{0}}\), diện tích xung quanh \(S\) của hình nón đã cho bằng?
