Có 3 quyển sách toán, 4 quyển sách lí và 5 quyển sách hóa khác nhau được sắp xếp ngẫu nhiên lên một giá sách gồm có 3 ngăn, các quyển sách được sắp dựng đứng thành một hàng dọc vào một trong ba ngăn (mỗi ngăn đủ rộng để chứa tất cả quyển sách). Tính xác suất để không có bất kì hai quyển sách toán nào đứng cạnh nhau.

Cho hình cầu tâm O bán kính R = 5, tiếp xúc với mặt phẳng (P). Một hình nón tròn xoay có đáy nằm trên (P), có chiều cao h = 15, có bán kính đáy bằng R. Hình cầu và hình nón nằm về một phía đối với mặt phẳng (P). Người ta cắt hai hình đó bởi mặt phẳng (Q) song song với (P) và thu được hai thiết diện có tổng diện tích là S. Gọi x là khoảng cách giữa (P) và (Q), \((0 < x \le 5)\). Biết rằng S đạt giá trị lớn nhất khi \(x = \frac{a}{b}\) (phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản). Tính giá trị \(T = a + b\).

Trong các nghiệm \(\left( {x\,;\,y} \right)\) thỏa mãn bất phương trình \({\log _{{x^2} + 2{y^2}}}\left( {2x + y} \right) \ge 1\). Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = 2x + y\) là

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {3\,;\,1\,;\, - 2} \right),B\left( {2\,;\, - 3\,;\,5} \right)\). Điểm M thuộc đoạn AB sao cho \(MA = 2MB\), tọa độ điểm M là

Biết thể tích khối lập phương bằng \(16\sqrt 2 {a^3}\), vậy cạnh của khối lập phương bằng bao nhiêu?

Hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau

Hàm số đạt cực tiểu tại

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên dưới.

Số điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right) = 2f\left( {x + 2} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)\) là

Giá trị \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}}\) bằng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^2}{e^{{x^3} + 2}} + 2x{e^{2x}}\), ta có \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = m{e^{{x^3} + 2}} + nx{e^{2x}} - p{e^{2x}} + C} \). Giá trị của biểu thức \(m + n + p\) bằng

Biết \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm \(f\left( x \right) = \cos 3x\) và \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{2}{3}\). Tính \(F\left( {\frac{\pi }{9}} \right)\).

Tập hợp các giá trị thực của m để hàm số \(y = \frac{{3x - 1 - 2m}}{{x - m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {5\,;\, + \infty } \right)\) là

Tập xác định của hàm số \(y = {\left( {{x^2} - 4x} \right)^{\frac{{2019}}{{2020}}}}\) là

Một khối trụ có thể tích bằng \(6\pi \). Nếu giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính đáy của khối trụ đó gấp 3 lần thì thể tích của khối trụ mới bằng bao nhiêu?

Đạo hàm của hàm số \(y = {2020^x}\) là

Tìm số nguyên dương sao cho

\({\log _{2018}}2019 + {2^2}{\log _{\sqrt {2018} }}2019 + {3^2}{\log _{\sqrt[3]{{2018}}}}2019 + ... + {n^2}{\log _{\sqrt[n]{{2018}}}}2019 = {1010^2}{.2021^2}{\log _{2018}}2019\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Biết \(\int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x = 3x\cos \left( {2x - 5} \right) + C} \). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên R?

Đồ thị hàm số \(y = {x^4} - {x^2} + 1\) có bao nhiêu điểm cực trị có tung độ là số dương?

Phương trình \({\left( {\sqrt 5 } \right)^{{x^2} + 4x + 6}} = {\log _2}128\) có bao nhiêu nghiệm?

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, \(AB = BC = 3a\sqrt 2 ,\widehat {SAB} = \widehat {SCB} = {90^0}\). Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng \(2a\sqrt 3 \). Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.