Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, \(AB = BC = 3a\sqrt 2 ,\widehat {SAB} = \widehat {SCB} = {90^0}\). Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng \(2a\sqrt 3 \). Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Đạo hàm của hàm số \(y = {2020^x}\) là

Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy, là tam giác ABC vuông tại A, biết \(AB = 3a,AC = 4a,SA = 5a\). Tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {3\,;\,1\,;\, - 2} \right),B\left( {2\,;\, - 3\,;\,5} \right)\). Điểm M thuộc đoạn AB sao cho \(MA = 2MB\), tọa độ điểm M là

Bạn Nam vừa trúng tuyển đại học, vì hoàn cảnh gia đình khó khăn nên được ngân hàng cho vay vốn trong 4 năm học đại học, mỗi năm 10 triệu đồng vào đầu năm học để nạp học phí với lãi suất 7.8%/năm (mỗi lần vay cách nhau đúng 1 năm). Sau khi tốt nghiệp đại học đúng 1 tháng, hàng tháng Nam phải trả góp cho ngân hàng số tiền là m đồng/tháng với lãi suất 0,7%/tháng trong vòng 4 năm. Số tiền m mỗi tháng Nam cần trả cho ngân hàng gần nhất với số nào sau đây (ngân hàng tính lãi trên số dư nợ thực tế).

Gọi M và N lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(A = \frac{{\cos x + 1}}{{2\sin x + 4}}\). Giá trị của M+N bằng

Phương trình \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + \left( {1 - 2a} \right){\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} - 4 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} - {x_2} = {\log _{2 + \sqrt 3 }}3\). Khi đó \(a\) thuộc khoảng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên R và hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên dưới.

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right| + m} \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(g\left( x \right)\) có đúng 7 điểm cực trị?

Hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau

Hàm số đạt cực tiểu tại

Giá trị \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}}\) bằng

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { - 1\,;\,5\,;\,2} \right)\) và \(B\left( {3\,;\, - 3\,;\,2} \right)\). Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là

Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình vuông cạnh \(2a\), SA vuông góc với mặt (ABCD) và \(SA = a\sqrt 3 \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB bằng

Cho hình cầu tâm O bán kính R = 5, tiếp xúc với mặt phẳng (P). Một hình nón tròn xoay có đáy nằm trên (P), có chiều cao h = 15, có bán kính đáy bằng R. Hình cầu và hình nón nằm về một phía đối với mặt phẳng (P). Người ta cắt hai hình đó bởi mặt phẳng (Q) song song với (P) và thu được hai thiết diện có tổng diện tích là S. Gọi x là khoảng cách giữa (P) và (Q), \((0 < x \le 5)\). Biết rằng S đạt giá trị lớn nhất khi \(x = \frac{a}{b}\) (phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản). Tính giá trị \(T = a + b\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\) và liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( {\sqrt {2x - 3} } \right) + 4 = 0\) là

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và \({u_4} = 54\). Giá trị \({u_{2019}}\) bằng

Biết \(\int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x = 3x\cos \left( {2x - 5} \right) + C} \). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên dưới.

Số điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right) = 2f\left( {x + 2} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)\) là

Tìm số nguyên dương sao cho

\({\log _{2018}}2019 + {2^2}{\log _{\sqrt {2018} }}2019 + {3^2}{\log _{\sqrt[3]{{2018}}}}2019 + ... + {n^2}{\log _{\sqrt[n]{{2018}}}}2019 = {1010^2}{.2021^2}{\log _{2018}}2019\).

Thể tích khối chóp có diện tích đáy \({a^2}\sqrt 2 \) và chiều cao \(3a\) là

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 3x - \sin x\).

Với \(a,b\) là hai số thực dương tuỳ ý, \(\ln \left( {{{\rm{e}}^2}.{a^7}{b^5}} \right)\) bằng