Cho tam giác đều ABC có cạnh 8 cm. Dựng hình chữ nhật MNPQ với cạnh MN nằm trên cạnh BC và hai đỉnh P, Q lần lượt nằm trên cạnh AC, AB của tam giác. Tính BM sao cho hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất.

Số nghiệm của phương trình \(\frac{{\sin 3x}}{{1 - \cos x}} = 0\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3a, SA vuông góc với đáy, SB = 5a. Tính sin của góc giữa cạnh SC và mặt đáy (ABCD).

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình \(x+y-1=0\) và đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\). Ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow v  = \left( {4;0} \right)\) cắt đường tròn (C) tại hai điểm \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\)  và \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\). Giá trị  \({x_1} + {x_2}\) bằng:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{3 - x}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận?

Cho hàm số đa thức bậc ba \(y=f(x)\) có đồ thị như hình bên. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \left| {f\left( x \right) + m} \right|\)  có ba điểm cực trị.

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị của hàm số \(y = {f^2}\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu?

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Nhận xét nào đúng về hàm số \(g\left( x \right) = {f^2}\left( x \right)\)?

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)\). Hàm số \(y=f'(x)\) liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ. Biết \(f\left( { - 1} \right) = \frac{{13}}{4},\,f\left( 2 \right) = 6\). Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right) = {f^3}\left( x \right) - 3f\left( x \right)\) trên \([-1;2]\) bằng:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{4x - 5}}{{x - m}}\) có tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, I là trung điểm của AB, hình chiếu S lên mặt đáy là trung điểm H của CI, góc giữa SA và đáy là \(45^0\). Khoảng cách giữa SA và CI bằng:

Với giá trị nào của m thì hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + m\) có giá trị lớn nhất trên [0;2] bằng - 4?

Biết tập nghiệm của bất phương trình \(x - \sqrt {2x + 7}  \le 4\) là \(\left[ {a;b} \right]\). Tính giá trị của biểu thức \(P = 2a + b\).

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = x - \frac{1}{x}\) trên \(\left( {0;3} \right]\) bằng:

Hàm số \(y =  - \frac{1}{4}{x^4} - 2{x^2} + 2\) có bao nhiêu điểm cực trị?

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \sqrt {5 - 4x} \) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) bằng:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt 3 \). Khi đó, thể tích của khối chóp bằng:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (2;1), đường cao BH có phương trình \(x - 3y - 7 = 0\) và trung tuyến CM có phương trình \(x+y+1=0\). Tìm tọa độ đỉnh C?

Hàm số \(y = {x^3} - 9{x^2} + 1\) có hai điểm cực trị là \({x_1},\,{x_2}\). Tính \(x_1+ x_2\).