Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'có độ dài cạnh bên bằng 8a và khoảng cách từ điểm A đến các đường thẳng BB′, CC′ lần lượt bằng 2a và 4a. Biết góc giữa hai mặt phẳng (ABB′A′) và (ACC′A′) bằng \(60^0\). Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D',\)  biết đáy ABCD là hình vuông.  Tính góc giữa A'C và BD

Thể tích vật tròn xoay khi quay hình phẳng (H) xác định bởi các đường \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2},y = 0,x = 0\), \(x = 3\) quanh trục Ox là

Cho phương trình \({(4 + \sqrt {15} )^x} + (2m + 1){(4 - \sqrt {15} )^x} - 6 = 0.\) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thỏa mãn \({x_1} - 2{\rm{ }}{x_2} = 0.\) Ta có m thuộc khoảng nào?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có \(A( - 1;1;6),{\rm{ }}B( - 3; - 2; - 4),{\rm{ }}C(1;2; - 1),{\rm{ }}D(2; - 2;0).\) Điểm \(M(a;b;c)\) thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất. Tính \(a + b + c.\)

Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh bằng 3 cm là:

Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên R và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Đặt \(g(x) = 3f\left( {f(x)} \right) + 4\). Tìm số cực trị của hàm số \(g(x)?\)

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 2x + 2019}}{{\left| x \right| - 2018}}\) là:                   

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{6x - 3}}{{\left( {m{x^2} - 6x + 3} \right)\left( {9{x^2} + 6mx + 1} \right)}}\) có đúng 1 đường tiệm cận?

Gọi A là tập các số tự nhiên gồm 5 chữ số mà các chữ số đều khác 0. Lấy ngẫu nhiên từ tập A một số. Tính xác suất để lấy được số mà chỉ có đúng 3 chữ số khác nhau.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A(1;3;2), B(3; - 1;4)\) . Tìm tọa độ trung điểm I của AB

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định và liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình \(2.f\left( {3 - 3\sqrt { - 9{x^2} + 30x - 21} } \right) = m - 2019\) có nghiệm.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x + 3y – 4z +7 = 0. Tìm tọa độ véc tơ pháp tuyến của (P).

Cho x, y là các số thực dương tùy ý, đặt \({\log _3}x = a,{\rm{ }}{\log _3}y = b\). Chọn mệnh đề đúng.

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\Pi }{4}} {\tan x.f\left( {{{\cos }^2}x} \right)dx}  = 2\)  và \(\int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{f\left( {{{\ln }^2}x} \right)}}{{x\ln x}}dx}  = 2\). Tính \(\int\limits_{\frac{1}{4}}^2 {\frac{{f\left( {2x} \right)}}{x}dx} .\)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V. Gọi P là điểm trên cạnh SC sao cho \(SC = 5SP.\) Một mặt phẳng \((\alpha )\) qua AP cắt hai cạnh SB và SD lần lượt tại M và N. Gọi \(V_1\) là thể tích của khối chóp S.AMPN. Tìm giá trị lớn nhất của \(\frac{{{V_1}}}{V}\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên:                   

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Đồ thị sau đây là đồ thị của hàm số nào?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² – 8x + 2y + 1 = 0. Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S).

Cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\) có cùng bán kính R = 3  thỏa mãn tính chất tâm của \((S_1)\) thuộc \((S_2)\) và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\)

Nguyên hàm của hàm số: \(y = {e^{2x - 1}}\)  là: