Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có thể tích bằng \({{a}^{3}}\) và đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tính \(cos\alpha \) với \(\alpha \) là góc giữa mặt bên và mặt đáy
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi O là tâm của hình vuông ABCD, I là trung điểm của BC.
Ta có: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO = \frac{1}{3}.{a^2}.SO = {a^3} \Rightarrow SO = 3a\)
Do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {OI \bot BC}\\ {SI \bot BC} \end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SOI} \right)} \right.\)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC}\\ {BC \bot \left( {SOI} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\ {\left( {SOI} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SI\,\,\,\,\,\,}\\ {\left( {SOI} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = OI} \end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {OI;SI} \right) = \angle SIO\)
\( \Rightarrow cos\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = cos\angle SIO = \frac{{OI}}{{SI}} = \frac{{OI}}{{\sqrt {O{I^2} + S{O^2}} }} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + 9{a^2}} }} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{{a\sqrt {37} }}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt {37} }}\)