Cho HS \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=0\) và \({f}'\left( x \right)\left( 1+{{e}^{f\left( x \right)}} \right)=1+{{e}^{x}},\forall x\in \mathbb{R}.\) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và 2 đường thẳng \(x=1,x=3\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+) Ta có \({f}'\left( x \right)\left( 1+{{e}^{f\left( x \right)}} \right)=1+{{e}^{x}}\Rightarrow {f}'\left( x \right)+{f}'\left( x \right){{e}^{f\left( x \right)}}=1+{{e}^{x}}\Rightarrow {{\left[ f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}} \right]}^{\prime }}=1+{{e}^{x}}\)
\(\Rightarrow f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}}=x+{{e}^{x}}+C.\)
+) Lại có \(f\left( 0 \right)=0\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}}=x+{{e}^{x}}.\)
Xét hàm số \(g\left( t \right)=t+{{e}^{t}}\) với \(t\in \mathbb{R}.\) \({g}'\left( t \right)=1+{{e}^{t}}>0,\forall t\in \mathbb{R}\) nên \(g\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Suy ra \(f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}}=x+{{e}^{x}}\)\( \Rightarrow f\left( x \right)=x.\) Do đó
\(S=\int\limits_{1}^{3}{xdx}=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\left| \begin{align} & 3 \\ & 1 \\ \end{align} \right.=4.\)
Chọn A
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Lam Sơn
Câu hỏi liên quan
-
Cho số phức sau \(z=-4+5i\). Biểu diễn hình học của \(z\) là điểm có tọa độ?
-
Diện tích xung quanh Sxq của hình nón có bán kính đáy \(r=5cm\) và độ dài đường sinh \(l=7cm\) bằng?
-
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số sau \(f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2\cos x\) là?
-
Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\text{lo}{{\text{g}}_{3}}\frac{{{x}^{2}}-9}{125}\le \text{lo}{{\text{g}}_{5}}\frac{{{x}^{2}}-9}{27}\)?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9\) và \(\left( S' \right):\,\,{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=4\). Khẳng định nào đúng?
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho đồ thị hàm số \(y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+2{{m}^{4}}-m\) có 3 điểm cực trị đều thuộc các trục toạ độ?
-
Cho CSC \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{1}}=3\) và \({{u}_{2}}=-1\). Công sai của cấp số cộng đó bằng?
-
Cho khối lăng trụ đứng có chiều cao bằng \(3\) và đáy là tam giác đều có độ dài cạnh bằng 2. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho 3 điểm \(A\left( 3\,;-1\,\,;2 \right)\), \(B\left( 0\,;\,1\,;\,3 \right)\) và \(C\left( -1;\,1\,;1 \right)\). Đường thẳng đi qua \(C\) và song song với đường thẳng \(AB\) có phương trình là?
-
Giả sử \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đường parabol \(y={{x}^{2}}-3x+2\) và trục hoành. Quay \(D\) quanh trục hoành ta thu được khối tròn xoay có thể tích V bằng?
-
Cho hàm số sau đây \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Gọi \(F\left( x \right),G\left( x \right),H\left( x \right)\) là ba nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(F\left( 8 \right)+G\left( 8 \right)+H\left( 8 \right)=4\) và \(F\left( 0 \right)+G\left( 0 \right)+H\left( 0 \right)=1\). Khi đó \(\int\limits_{0}^{2}{f}\left( 4x \right)\text{d}x\) bằng?
-
TCĐ của đồ thị hàm số \(y=\frac{x-1}{x-3}\) là đường thẳng có phương trình?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2y+4z-2=0\). Tính bán kính mặt cầu bằng?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( 1;0;-2 \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{align} & x=1-2t \\ & y=t \\ & z=-1-t \\ \end{align} \right.\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và chứa \(d\). Tổng k/c từ điểm \(N\left( -3;-2;1 \right)\) và \(Q\left( -1;3;0 \right)\) đến \(\left( P \right)\) bằng?
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(x+2y-3z-2=0\). Điểm nào thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\)?
-
Cho hàm số \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) có đồ thị là đường cong trong hình. Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là?
-
Kết quả thu gọn biểu thức sau đây \(P=\ln \left( 4x \right)-\ln \left( 2x \right)\) là?
-
Cho tập hợp \(M=\left\{ 1;2;3;4;5 \right\}\). Số tập con gồm 2 phần tử của tập hợp \(M\) là?
-
Cho hàm số bậc 3 \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình sau:
.PNG)
Hàm số \(y=f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho 3 điểm \(M\left( 2;1;-3 \right)\), \(N\left( 1;0;2 \right)\); \(P\left( 2;-3;5 \right)\). Tìm 1 vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) của mặt phẳng \(\left( MNP \right)\)?
