Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA. Biết thể tích khối chóp S.MNPQ là V, khi đó thể tích của khối chóp S.ABCD là

Giải phương trình \(2{\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin 2x = 3.\) 

Số các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\left( {\sin x - 1} \right)\left( {2{{\cos }^2}x - \left( {2m + 1} \right)\cos x + m} \right) = 0\)có đúng 4 nghiệm thực thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\) là

Tìm hệ số của số hạng chứa \(x^9\) trong khai triển nhị thức Newton \(\left( {1 + 2x} \right){\left( {3 + x} \right)^{11}}.\)

Cho \(\int\limits_1^2 {f\left( {{x^2} + 1} \right)x\,dx = 2.} \) Khi đó \(I = \int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx} \) bằng

Cho hàm số \(y = {\left( {\frac{3}{\pi }} \right)^{{x^2} + 2x + 3}}.\) Tìm khẳng định đúng.

Hình trụ (T) được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB. Biết  \(AC = 2a\sqrt 2 ,\,\angle ACB = {45^0}.\) Diện tích toàn phần \({S_{tp}}\)của hình trụ (T) là:

Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau và bằng 2a, đáy là hình chữ nhật ABCD có \(AB = 2a,\,AD = a.\) Gọi K là điểm thuộc BC sao cho \(3\overrightarrow {BK} + 2\overrightarrow {CK} = \overrightarrow 0 \). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SK.

Cho \(a,b > 0;\,\,a,b \ne 1\) và x, y là hai số thực dương. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?

Một đám vi khuẩn tại ngày thứ x có số lượng là N(x) Biết rằng \(N'\left( x \right) = \frac{{2000}}{{1 + x}}\)  và lúc đầu số lượng vi khuẩn là 5000 con. Vậy ngày thứ 12 số lượng vi khuẩn (sau khi làm tròn) là bao nhiêu con?

Tìm nguyên hàm \(I = \int {x\cos xdx.} \) 

Biết đồ thi ̣(C) của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}}\) có hai điểm cực trị. Đường thẳng đi qua hai điểm cực tri ̣của đồ thi ̣(C) cắt trục hoành ta ̣i điểm M có hoành độ \(x_M\) bằng:

Biết đồ thị (C) ở hình bên là đồ thị hàm số \(y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right).\) Gọi (C’) là đường đối xứng với (C) qua đường thẳng

Hỏi (C’) là đồ thị của hàm số nào dưới đây? 

Khối mười hai mặt đều có bao nhiêu cạnh?

Một giải thi đấu bóng đá quốc gia có 16 đội thi đấu vòng tròn 2 lượt tính điểm. Hai đội bất kỳ đều đấu với nhau đúng 2 trận. Sau mỗi trận đấu, đội thắng được 3 điểm, đội thua 0 điểm, nếu hòa mỗi đội được 1 điểm. Sau giải đấu, Ban tổ chức thống kê được 80 trận hòa. Hỏi tổng số điểm của tất cả các đội sau giải đấu bằng bao nhiêu?

Xét phương trình \(a{x^3} - {x^2} + bx - 1 = 0\) với a, b là các số thực, \(a \ne 0,\,\,a \ne b\) sao cho các nghiệm đều là số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{5{a^2} - 3ab + 2}}{{{a^2}\left( {b - a} \right)}}.\)

Xét hàm số f(x)liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) và thỏa mãn \(2f\left( x \right) + 3f\left( {1 - x} \right) = \sqrt {1 - {x^2}} .\) Tính \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx.} \)

Cho tham số thực a. Biết phương trình \({e^x} - {e^{ - x}} = 2\cos ax\) có 5 nghiệm thực phân biệt. Hỏi phương trình \({e^x} - {e^{ - x}} = 2\cos ax + 4\) có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Tổng số các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {16 - {x^4}} }}\) là

Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Biết mặt phẳng (AEF) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O  trên mặt phẳng (ABC). Mệnh đề nào sau đây đúng?