Cho hàm số bậc 4 \(y=f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=3f\left( 2 \right)=-3\) và có đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) như hình:
.PNG)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc khoảng \(\left( -20;20 \right)\) để hàm số \(g\left( x \right)=f\left[ 4f\left( x \right)-f''\left( x \right)+m \right]\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;1 \right)?\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét \(y=f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e\Rightarrow f'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+3b{{x}^{2}}+2cx+d\).
Từ đồ thị \(y={f}'\left( x \right)\) ta có \({f}'(x)=4ax\left( {{x}^{2}}-1 \right)=4a{{x}^{3}}-4ax.\)
Vậy ta có hệ phương trình
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} b = 0\\ 2c = - 4\\ d = 0 \end{array} \right.a\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 0\\ c = - 2a\\ d = 0 \end{array} \right. \end{array}\)
\(\Rightarrow f\left( x \right)=a{{x}^{4}}-2a{{x}^{2}}+e\).
Ta lại có
\(f\left( 0 \right)=3f\left( 2 \right)=-3\\\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=\frac{1}{4} \\ & e=-3 \\ \end{align} \right.\)
Vậy \(f\left( x \right)=\frac{1}{4}{{x}^{4}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-3.\)
Ta có \({f}'(x)={{x}^{3}}-x\)\(\Rightarrow f''\left( x \right)=3{{x}^{2}}-1\)\(\Rightarrow f'''\left( x \right)=6x\)
Xét hàm số \(g\left( x \right)=f\left( 2f\left( x \right)-f''\left( x \right)+m \right)\) trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\)
Ta có \(g'\left( x \right)=\left[ 4f'\left( x \right)-f'''\left( x \right) \right]f'\left[ 4f\left( x \right)-f''\left( x \right)+m \right]\)
Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;1 \right)\) \(\Leftrightarrow g'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( 0;1 \right).\)
Mà \(4f'\left( x \right)-f'''\left( x \right)<0,\forall x\in \left( 0;1 \right)\) và \(4f\left( x \right)-f''\left( x \right)+m={{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+m-11\)
Nên \(g'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)\)
\(\Leftrightarrow f'\left[ 4f\left( x \right)-f''\left( x \right)+m \right]\le 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow f'\left( {{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+m-11 \right)\le 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^4} - 5{x^2} + m - 11 \le - 1,\forall x \in \left( {0;1} \right)\\ 0 \le {x^4} - 5{x^2} + m - 11 \le 1,\forall x \in \left( {0;1} \right) \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m - 10 \le - {x^4} + 5{x^2},\forall x \in \left( {0;1} \right)\\ \left\{ \begin{array}{l} m - 11 \ge - {x^4} + 5{x^2},\forall x \in \left( {0;1} \right)\\ m - 12 \le - {x^4} + 5{x^2},\forall x \in \left( {0;1} \right) \end{array} \right. \end{array} \right.\quad \left( * \right) \end{array}\)
Xét hàm số \(h\left( x \right)=-{{x}^{4}}+5{{x}^{2}}\) trên \(\left[ 0;1 \right]\)
Tìm được \(\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }}\,h\left( x \right)=0,\)\(\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }}\,h\left( x \right)=4.\)
Do đó
\(\begin{array}{l} \left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m - 10 \le 0\\ \left\{ \begin{array}{l} m - 11 \ge 4\\ m - 12 \le 0 \end{array} \right. \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m \le 10\\ \left\{ \begin{array}{l} m \ge 15\\ m \le 12 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 10. \end{array}\)
\(m\) nguyên thuộc khoảng \(\left( -20;20 \right)\Rightarrow m\in \left\{ -19,...,10 \right\}\)
\(\Rightarrow \) có 30 giá trị nguyên của m.
Chọn A
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Lương Văn Can
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\) có đồ thị như hình. Số giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( x \right)=m\) có 2 nghiệm phân biệt là?
-
Với \(a,b\) là các số thực dương tùy ý thỏa mãn \({{\log }_{3}}b-2{{\log }_{9}}a=2.\) Mệnh đề nào đúng?
-
Cho HS \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \({{x}^{2}}f\left( {{x}^{5}} \right)+xf\left( 1-{{x}^{4}} \right)=-3{{x}^{4}}+x+3,\,\forall x\in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng?
-
Xét các số thực \(x,y\)thỏa mãn \({{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2 \right){{.4}^{x}}\). GTLN của biểu thức \(P=\frac{8x+4}{2x-y+1}\) gần nhất với số nào?
-
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số và các chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số \(1,2,3,4,5.\) Chọn ngẫu nhiên 2 số từ \(S,\) tính xác xuất để hai số chọn được đều là số có ba chữ số?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho 2 điểm \(A\left( 1;-2;5 \right)\) và \(B\left( -2;-2;1 \right).\) Độ dài đoạn thẳng \(AB\) bằng?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho \(\vec{a}=\left( 1;-2;3 \right)\) và \(\vec{b}=\left( -1;3;0 \right)\). Hỏi vectơ \(\vec{a}-\vec{b}\) có tọa độ là?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu sau \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-6z-5=0.\) Tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\) có tọa độ là?
-
Cho hình trụ có bán kính đáy \(r=3\) và độ dài đường sinh \(l=5.\) Diện tích xung quanh Sxq của hình trụ đã cho bằng?
-
Đạo hàm của hàm số sau \(y={{\log }_{3}}\left( 3x+1 \right)\) là?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) biết hàm số \(y={{f}'}'(x)\) là hàm đa thức bậc 4 có đồ thị như hình:
.PNG)
Đặt \(g(x)=2f\left( \frac{1}{2}{{x}^{2}} \right)+f\left( -{{x}^{2}}+6 \right)\), biết rằng \(g(0)>0\) và \(g\left( 2 \right)<0.\) Số điểm cực tiểu của hàm số \(y=\left| g\left( x \right) \right|\) là?
-
Nghiệm của phương trình sau \({{2}^{1-3x}}=\frac{1}{32}\) là?
-
Cho khối chóp có thể tích \(4{{a}^{3}}\) và diện tích đáy \(4{{a}^{2}}.\) Tính chiều cao của khối chóp đã cho?
-
Cho biết \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)}\,dx=2\) và \(\int\limits_{1}^{5}{f\left( x \right)}\,dx=5\), khi đó \(\int\limits_{2}^{5}{f\left( x \right)dx}\) bằng?
-
Cho hàm số bậc 4 sau \(f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e\ \left( a,b,c,d,e\in \mathbb{R} \right)\) và hàm số bậc 3 sau \(g\left( x \right)=m{{x}^{3}}+n{{x}^{2}}+px+q\ \left( m,n,p,q\in \mathbb{R} \right)\) có đồ thị \(y=f'\left( x \right)\) và \(y=g'\left( x \right)\) như hình:
.PNG)
Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) và \(y=g\left( x \right)\) bằng 96 và \(f\left( 2 \right)=g\left( 2 \right)\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=f\left( x \right),y=g\left( x \right)\) và \(x=0,\ x=2\) bằng?
-
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh \(1\left( m \right)\) như hình:
.PNG)
Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng \(x\,\left( m \right)\) sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình chóp. Giá trị của \(x\) để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất là?
-
Cho khối lăng trụ tam giác có chiều cao \(h=3\) và đáy là tam giác đều cạnh \(a=2.\) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho bằng?
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với đáy, tam giác \(ABC\) có \(AB=a,\)\(AC=2a,\widehat{\,BAC}=120{}^\circ \) (tham khảo hình). Khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) bằng?
.PNG)
-
Một ngọn hải đăng được đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng \(AB=5km.\) Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng \(BC=7km\) (tham khảo hình). Người canh hải đăng có thể chèo đò từ vị trí A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc \(4\,km/h\) và đi bộ đến kho C với vận tốc \(6\,km/h.\) Hỏi muộn nhất mấy giờ người đó phải xuất phát từ vị trí A để có mặt ở kho C lúc 7 giờ sáng?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) vectơ nào là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( Oxy \right)?\)
