Cho các số phức \(w,\,z\) thỏa mãn \(\left| w+i \right|=\frac{3\sqrt{5}}{5}\) và \(5w=\left( 2+i \right)\left( z-4 \right)\). GTLN của biểu thức \(P=\left| z-1-2i \right|+\left| z-5-2i \right|\) bằng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gọi \(z=x+yi\,\,\left( x,\,y\in \mathbb{R} \right)\) khi đó \(M\left( x;\,y \right)\) biểu diễn cho số phức \(z\).
Theo đề bài: \(5w=\left( 2+i \right)\left( z-4 \right)\)
\(\begin{align} & \Leftrightarrow 5\left( w+i \right)=\left( 2+i \right)z-\left( 8-i \right)\\ &\Leftrightarrow \left| 5\left( w+i \right) \right|=\left| \left( 2+i \right)z-\left( 8-i \right) \right| \\ & \Leftrightarrow \left| \left( 2-i \right)\left( w+i \right) \right|=\left| z-\left( 3-2i \right) \right|\\ &\Leftrightarrow \left| z-\left( 3-2i \right) \right|=3. \\ \end{align}\)
Suy ra \(M\left( x;\,y \right)\) thuộc đường tròn tâm \(I\left( 3;\,-2 \right)\) và bán kính \(R=3\).
Ta có \(P=\left| z-1-2i \right|+\left| z-5-2i \right|=\left| z-\left( 1+2i \right) \right|+\left| z-\left( 5+2i \right) \right|=MA+MB\) với \(A\left( 1;\,2 \right)\) và \(B\left( 5;\,2 \right)\).
Gọi \(E\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) suy ra \(E\left( 3;\,2 \right)\) và \(IE=4\) (\(E\) nằm ngoài \(\left( I \right)\)).
\(P=MA+MB\le \sqrt{\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}\)\( =\sqrt{2\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}\)\( =\sqrt{4M{{E}^{2}}+A{{B}^{2}}}\)\( =\sqrt{4M{{E}^{2}}+16}\).
Biểu thức \(P\) đạt giá trị lớn nhất khi độ dài \(ME\) lớn nhất hay \(M,\,I,\,E\) thẳng hàng.
Khi đó \(M{{E}_{\max }}=IE+IM=7\) và \(\overrightarrow{IM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{EI}\Rightarrow M\left( 3;-5 \right)\).
Vậy biểu thức \({{P}_{\max }}=\sqrt{{{4.7}^{2}}+16}=2\sqrt{53}\) khi \(z=3-5i\) và \(w=\frac{3}{5}-\frac{11}{5}i\).
Chọn B
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Minh Đức
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian \(Oxyz\), điểm nào thuộc đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{2}?\)
-
Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng đi qua điểm \(M\left( 3;\,-1;\,2 \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow{u}=\left( 4;\,5;\,-7 \right)\) có phương trình là?
-
Cho 2 số phức sau \({{z}_{1}}=2+3i\) và \({{z}_{2}}=3-2i\). Số phức \({{z}_{1}}.{{z}_{2}}\) bằng?
-
Cho biết \({{\log }_{a}}5=3\), khi đó giá trị của \({{\log }_{{{a}^{2}}}}\left( 5{{a}^{3}} \right)\) bằng?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(a\) là số thực dương. Khẳng định nào đúng?
-
Hàm số \(y=\frac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+3x+1\) nghịch biến trên khoảng nào?
-
Điểm \(M\) trong hình bên dưới biểu diễn số phức nào?
-
Trong không gian \(Oxyz\), giao tuyến của 2 mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x+2y+z-1=0\) và \(\left( \beta \right):x-y-z+2=0\) có phương trình là?
-
Nghiệm của phương trình sau \({{3}^{x}}=7\) là?
-
Cho CSC \(\left( {{u}_{n}} \right)\)biết \({{u}_{1}}=5,\,{{u}_{2}}=8\). Giá trị của \({{u}_{4}}\) bằng?
-
Cho khối nón đỉnh \(S\) có đáy là đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R\). Trên đường tròn \(\left( O \right)\) lấy 2 điểm \(A,B\) sao cho tam giác \(OAB\) vuông. Biết diện tích tam giác \(SAB\) bằng \(\sqrt{2}{{R}^{2}}\). Thể tích khối nón đã cho bằng?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P):3x+y-2z+1=0\). Vectơ nào là một vectơ pháp tuyến của \((P)\)?
-
Cho hàm số sau \(f(x)\)có đạo hàm \({f}'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-3x}},\forall x\in \left( -\infty ;\frac{1}{3} \right)\) và \(f(-1)=\frac{2}{3}\). Biết \(F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\) thỏa mãn \(F(-1)=0\). Giá trị của \(F\left( \frac{1}{4} \right)\) bằng?
-
Tìm TXĐ của hàm số \(y={{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-1 \right)\) là?
-
Cho khối chóp có diện tích đáy \(B=6\) và chiều cao \(h=4\). Thể tích V của khối chóp đã cho bằng?
-
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \({f}'(x)=\frac{1}{2}{{x}^{2}}-2x+\frac{3}{2}\) và \(f(0)=0\). Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(m\in \left( -2021\,;\,2022 \right)\) để hàm số \(g(x)=\left| {{f}^{2}}(x)+2f(x)+m \right|\) có đúng 3 điểm cực trị?
-
Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( x\,;\,y \right)\) thỏa mãn \({{2.3}^{x-1}}-{{\log }_{3}}\left( {{3}^{x-2}}+2y \right)=6y-x\,+1\) và \({{2022}^{-1}}\le y\le 2022\)?
-
GTLN của hàm số \(f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-6x\) trên đoạn \(\left[ 0;2 \right]\) bằng?
-
Cho hàm số bậc 3 \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong như hình:
Số nghiệm của phương trình \(f\left[ f\left( x \right) \right]=0\) là?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu tâm \(I\left( 1\,;\,0\,;\,-2 \right)\) và bán kính \(R=4\) có phương trình là?
