Trong bài toán kiểm định giả thuyết so sánh kỳ vọng của hai biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với cặp giả thuyết, đối thuyết: \(\left\{ \begin{array}{l} {H_0}:{\mu _1} = {\mu _2}\\ {H_1}:{\mu _1} \ne {\mu _2} \end{array} \right.\)

Trường hợp \(\sigma _1^2;\sigma _2^2\) đã biết, ta chọn thống kê để kiểm định là:

Hệ số tương quan tuyến tính Pearson (r) đo lường mức độ và hướng của mối quan hệ tuyến tính giữa hai biến. Giá trị của r nằm trong khoảng từ -1 đến 1.

• r > 0: Tương quan thuận (khi X tăng, Y có xu hướng tăng)
• r < 0: Tương quan nghịch (khi X tăng, Y có xu hướng giảm)
• |r| gần 1: Mối tương quan chặt chẽ
• |r| gần 0: Mối tương quan lỏng lẻo

Trong trường hợp này, r = -0,56, cho thấy:

• Dấu âm (-) chỉ ra rằng X và Y có tương quan nghịch.
• Giá trị tuyệt đối |r| = 0,56 cho thấy mối tương quan ở mức trung bình, không quá chặt chẽ cũng không quá lỏng lẻo, ta coi là lỏng lẻo.

Vậy, X và Y tương quan nghịch lỏng lẻo.

Bài toán kiểm định giả thuyết về trung bình của một quần thể có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn đã biết. Ta có:

• Giả thuyết null: \(H_0: \mu = 10.5\)
• Đối thuyết: \(H_1: \mu \ne 10.5\) (kiểm định hai phía)
• Mức ý nghĩa: \(\alpha = 0.05\)
• Thống kê kiểm định: \(Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{10.1 - 10.5}{1 / \sqrt{16}} = -1.6\)
• Giá trị tới hạn: Vì đây là kiểm định hai phía với \(\alpha = 0.05\), ta có \(z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96\). Miền bác bỏ là \(|Z| > 1.96\).
• Kết luận: Vì \(|-1.6| = 1.6 < 1.96\), ta không bác bỏ \(H_0\).

Vậy, ta chấp nhận H₀.

Để biểu diễn quy luật phân phối của một biến ngẫu nhiên, chúng ta có thể sử dụng hàm phân phối xác suất, bảng phân phối xác suất (đối với biến ngẫu nhiên rời rạc), hoặc hàm mật độ xác suất (đối với biến ngẫu nhiên liên tục). Do đó, cả ba phương án trên đều đúng.

Khoảng tin cậy thường được biểu diễn dưới dạng một tỷ lệ phần trăm (ví dụ: 95%, 99%) hoặc một giá trị thập phân gần với 1 (ví dụ: 0,95, 0,99). Các giá trị này biểu thị mức độ tin cậy mà chúng ta có thể đặt vào việc ước lượng tham số của quần thể. Trong các lựa chọn được đưa ra, 0,96 là giá trị phù hợp nhất với khái niệm này.

Để ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại I tối đa với độ tin cậy 95%, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các thông số:

• Số sản phẩm kiểm tra: n = 400


• Số sản phẩm loại I: x = 160


• Tỉ lệ mẫu sản phẩm loại I: p̂ = x/n = 160/400 = 0.4


• Độ tin cậy: 95%


• α = 1 - 0.95 = 0.05


• Giá trị tới hạn Z_α/2 = Z_0.025 ≈ 1.96 (tra bảng phân phối Z hoặc sử dụng máy tính)

2. Tính khoảng tin cậy:

Khoảng tin cậy cho tỉ lệ p được tính theo công thức:

p̂ - Z_α/2 * √(p̂(1-p̂)/n) ≤ p ≤ p̂ + Z_α/2 * √(p̂(1-p̂)/n)

Trong đó:

• p̂ là tỉ lệ mẫu


• Z_α/2 là giá trị Z tương ứng với mức ý nghĩa α/2


• n là kích thước mẫu

Thay số vào công thức:

0. 4 - 1.96 * √(0.4(1-0.4)/400) ≤ p ≤ 0.4 + 1.96 * √(0.4(1-0.4)/400)

0. 4 - 1.96 * √(0.24/400) ≤ p ≤ 0.4 + 1.96 * √(0.24/400)

0. 4 - 1.96 * √(0.0006) ≤ p ≤ 0.4 + 1.96 * √(0.0006)

0. 4 - 1.96 * 0.02449 ≤ p ≤ 0.4 + 1.96 * 0.02449

0. 4 - 0.048 ≤ p ≤ 0.4 + 0.048

0. 352 ≤ p ≤ 0.448

Vậy, ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại I tối đa với độ tin cậy 95% là 44,8%. Trong các đáp án đã cho, 44,5% là giá trị gần đúng nhất.