Một quả cầu đặc đồng chất, tâm O, bán kính R, khối lượng m phân bố đều, được gắn chặt tiếp xúc ngòai với một quả cầu đặc khác, tâm O’, đồng chất với nó nhưng có bán kính gấp đôi. Mômen quán tính của hệ hai quả cầu này đối với trục quay chứa O và O’ là:

Câu 35:

Một đĩa tròn mỏng đồng chất, khối lượng phân bố đều, bán kính R, bị khoét một lỗ hình tròn, bán kính r = R/2. Tâm O’ của lỗ thủng cách tâm O của đĩa một khoảng R/2. Khối lượng của phần còn lại là m. Mômen quán tính của phần còn lại đối với trục quay đi qua tâm O và vuông góc với mặt phẳng đĩa là:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Gọi \(M\) là khối lượng của đĩa tròn lớn (chưa khoét lỗ). Diện tích của đĩa lớn là \(\pi R^2\), diện tích của lỗ tròn là \(\pi (R/2)^2 = \frac{1}{4}\pi R^2\). Do đó, diện tích phần còn lại là \(\frac{3}{4}\pi R^2\). Vì đĩa đồng chất nên khối lượng tỉ lệ với diện tích. Ta có: \(m = \frac{3}{4}M\), suy ra \(M = \frac{4}{3}m\).\nMômen quán tính của đĩa lớn đối với trục quay đi qua tâm O và vuông góc với mặt phẳng đĩa là \(I_1 = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2}(\frac{4}{3}m)R^2 = \frac{2}{3}mR^2\).\nMômen quán tính của phần bị khoét (lỗ tròn) đối với trục quay đi qua tâm O' và vuông góc với mặt phẳng đĩa là \(I_{2O'} = \frac{1}{2}m'(R/2)^2\), trong đó \(m'\) là khối lượng của phần bị khoét. Ta có \(m' = \frac{1}{4}M = \frac{1}{4}(\frac{4}{3}m) = \frac{1}{3}m\). Suy ra \(I_{2O'} = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}m)(\frac{R}{2})^2 = \frac{1}{24}mR^2\).\nÁp dụng định lý Steiner, mômen quán tính của phần bị khoét đối với trục quay đi qua tâm O và vuông góc với mặt phẳng đĩa là \(I_2 = I_{2O'} + m'(R/2)^2 = \frac{1}{24}mR^2 + \frac{1}{3}m(\frac{R}{2})^2 = \frac{1}{24}mR^2 + \frac{1}{12}mR^2 = \frac{1}{8}mR^2\).\nMômen quán tính của phần còn lại là \(I = I_1 - I_2 = \frac{2}{3}mR^2 - \frac{1}{8}mR^2 = (\frac{2}{3} - \frac{1}{8})mR^2 = (\frac{16}{24} - \frac{3}{24})mR^2 = \frac{13}{24}mR^2\).

Câu 36:

Một đĩa tròn mỏng đồng chất, khối lượng phân bố đều, bán kính R, bị khoét một lỗ hình tròn, bán kính r = R/2. Tâm O’ của lỗ thủng cách tâm O của đĩa một khoảng R/2. Khối lượng của phần còn lại là m. Mômen quán tính của phần còn lại đối với trục quay đi qua tâm O và vuông góc với mặt phẳng đĩa là:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Gọi \(M\) là khối lượng của đĩa tròn ban đầu (chưa khoét lỗ). Ta có: \(m = M - m'\), với \(m'\) là khối lượng của phần bị khoét. Vì đĩa đồng chất và khối lượng phân bố đều nên \(\frac{m'}{M} = \frac{\pi r^2}{\pi R^2} = \frac{r^2}{R^2} = \frac{(R/2)^2}{R^2} = \frac{1}{4}\) suy ra \(m' = \frac{M}{4}\). Do đó \(m = M - \frac{M}{4} = \frac{3M}{4}\), hay \(M = \frac{4m}{3}\).
Mômen quán tính của đĩa tròn ban đầu đối với trục đi qua tâm O và vuông góc với mặt phẳng đĩa là: \(I = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4m}{3} R^2 = \frac{2}{3}mR^2\).
Mômen quán tính của phần bị khoét đối với trục đi qua tâm O' và vuông góc với mặt phẳng đĩa là: \(I' = \frac{1}{2}m'r^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{M}{4} (\frac{R}{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4m}{3 \cdot 4} \cdot \frac{R^2}{4} = \frac{mR^2}{24}\).
Theo định lý Steiner, mômen quán tính của phần bị khoét đối với trục đi qua tâm O và vuông góc với mặt phẳng đĩa là: \(I'_{O} = I' + m'd^2 = \frac{mR^2}{24} + \frac{M}{4} (\frac{R}{2})^2 = \frac{mR^2}{24} + \frac{4m}{3 \cdot 4} \cdot \frac{R^2}{4} = \frac{mR^2}{24} + \frac{mR^2}{12} = \frac{mR^2}{8}\).
Mômen quán tính của phần còn lại đối với trục đi qua tâm O và vuông góc với mặt phẳng đĩa là: \(I_{cl} = I - I'_{O} = \frac{2}{3}mR^2 - \frac{mR^2}{8} = (\frac{2}{3} - \frac{1}{8})mR^2 = (\frac{16 - 3}{24})mR^2 = \frac{13}{24}mR^2\).

Câu 37:

Bốn quả cầu nhỏ giống nhau, mỗi quả cầu (coi như chất điểm) có khối lượng 0,5kg đặt ở các đỉnh một hình vuông cạnh 2m và được giữ cố định ở đó bằng bốn thanh không khối lượng, các thanh này chính là cạnh hình vuông. Mômen quán tính của hệ này đối với trục quay ∆ đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện là:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Mômen quán tính của một chất điểm đối với trục quay là I = mr², trong đó m là khối lượng chất điểm và r là khoảng cách từ chất điểm đến trục quay.

Trong trường hợp này, ta có 4 quả cầu, mỗi quả có khối lượng m = 0,5 kg. Trục quay ∆ đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện của hình vuông, do đó, khoảng cách từ hai quả cầu nằm trên trục quay đến trục quay là r = 0. Khoảng cách từ hai quả cầu còn lại đến trục quay là r = cạnh/2 = 2m/2 = 1m.

Mômen quán tính của hệ đối với trục quay ∆ là tổng mômen quán tính của từng quả cầu:
I = m(0)² + m(0)² + m(1)² + m(1)² = 0 + 0 + 0,5kg*(1m)² + 0,5kg*(1m)² = 0,5 kgm² + 0,5 kgm² = 1 kgm².

Vậy đáp án đúng là 1 kgm².

Câu 38:

Khối hình hộp chữ nhật, mỏng, khối lượng m phân bố đều, chiều rộng là a, chiều dài b. Mômen quán tính đối với trục quay qua tâm và vuông góc mặt phẳng hình chữ nhật là:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Công thức mômen quán tính của hình hộp chữ nhật đối với trục quay qua tâm và vuông góc với mặt phẳng hình chữ nhật là: \(I = \frac{1}{12}m(a^2 + b^2)\). Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng khớp với công thức này, vì thế đáp án đúng là A, B, C đều sai.

Câu 39:

Một sợi dây nhẹ, không co giãn, vắt qua ròng rọc có dạng đĩa tròn đồng chất, khối lượng m = 800g (hình 3.13), hai đầu dây buộc chặt hai vật nhỏ khối lượng m₁ = 2,6 kg và m₂ = 1 kg. Thả cho hai vật chuyển động theo phương thẳng đứng, biết dây không trượt trên ròng rọc. Bỏ qua ma sát ở trục ròng rọc, lấy g = 10 m/s². Lực căng dây treo vật m₁ là:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Gọi gia tốc của hệ là a. Áp dụng định luật II Newton cho vật m1: m1g - T1 = m1a. Áp dụng định luật II Newton cho vật m2: T2 - m2g = m2a. Áp dụng phương trình động lực học cho vật rắn quay quanh trục cố định (ròng rọc): (T1 - T2)R = I*gamma = (1/2)mR^2 * (a/R) => T1 - T2 = (1/2)ma.
Giải hệ phương trình trên, ta có: a = (m1 - m2)g / (m1 + m2 + m/2) = (2.6 - 1)*10 / (2.6 + 1 + 0.8/2) = 16/4 = 4 m/s^2.
T1 = m1(g - a) = 2.6 * (10 - 4) = 2.6 * 6 = 15.6 N.

Câu 40:

Bánh xe dạng đĩa tròn đồng nhất, bán kính R, khối lượng m đứng trước một bậc thềm có chiều cao h (hình 3.17). Phải đặt vào trục của bánh xe một lực F bằng bao nhiêu để nó có thể lên được thềm?