Khi lập bảng Routh cho hệ thống, nếu ở một hàng nào đó có phần tử ở cột đầu tiên bằng không, các phần tử còn lại khác không thì:

Để xác định tính ổn định của hệ thống bằng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz, chúng ta thường lập bảng Routh. Trong quá trình lập bảng, có thể xảy ra các trường hợp đặc biệt: 1. **Trường hợp 1: Có một phần tử ở cột đầu tiên của một hàng nào đó bằng 0, nhưng các phần tử còn lại trong hàng đó khác 0.** Trong trường hợp này, chúng ta không thể tiếp tục tính toán các hàng tiếp theo một cách bình thường vì phép chia cho 0 sẽ xảy ra. Cách xử lý đúng là thay thế số 0 đó bằng một số ε (epsilon) rất nhỏ, dương (lân cận phải của 0), sau đó tiếp tục tính toán các phần tử còn lại của bảng Routh như bình thường. Sau khi hoàn thành bảng, chúng ta sẽ xét giới hạn của các phần tử ở cột đầu tiên khi ε dần về 0 (ε → 0+). Sự thay đổi dấu trong cột đầu tiên sẽ cho biết số nghiệm có phần thực dương, từ đó kết luận về tính ổn định của hệ thống. 2. **Trường hợp 2: Toàn bộ một hàng trong bảng Routh bằng 0.** Đây là trường hợp đặc biệt khác, cho thấy có các nghiệm đối xứng qua trục ảo hoặc đối xứng qua gốc tọa độ. Cách xử lý là lập một phương trình phụ từ hàng ngay phía trên hàng toàn số 0, sau đó lấy đạo hàm phương trình phụ để tạo ra một hàng mới thay thế cho hàng toàn số 0. Tiếp tục lập bảng Routh từ đó. Câu hỏi này đề cập đến trường hợp 1: có phần tử ở cột đầu tiên bằng không, các phần tử còn lại khác không. Phương án đúng là thay số 0 đó bằng một số ε là lân cận phải của 0 (nghĩa là ε > 0 và rất nhỏ) và tiếp tục tính toán bình thường. Việc này cho phép chúng ta phân tích sự thay đổi dấu trong cột đầu tiên khi ε tiến về 0 để kết luận về tính ổn định của hệ thống. * **Phương án 1 (Kết luận là hệ thống không ổn định):** Không phải lúc nào cũng đúng. Việc có một số 0 ở cột đầu tiên chưa cho phép kết luận ngay là hệ thống không ổn định mà cần phải thực hiện các bước xử lý đặc biệt. * **Phương án 2 (Kết luận rằng hệ thống không xác định được tính ổn định):** Sai. Tiêu chuẩn Routh vẫn có thể xác định được tính ổn định thông qua các quy tắc xử lý trường hợp đặc biệt. * **Phương án 3 (Thay số 0 bằng một số ε là lân cận trái của 0 và tính bình thường):** Sai. ε phải là một số dương (lân cận phải của 0) để đảm bảo ý nghĩa vật lý và toán học của việc phân tích dấu các nghiệm. * **Phương án 4 (Thay số 0 bằng một số ε là lân cận phải của 0 và tính bình thường):** Chính xác. Đây là phương pháp chuẩn để xử lý trường hợp đặc biệt này trong tiêu chuẩn Routh-Hurwitz.