Khâu vi phân lý tưởng có hàm truyền G(s) =K. s

Trong định thức Hurwitz, các số hạng trên cùng một cột, theo đường chéo chính, có chỉ số giảm dần. Điều này xuất phát từ cách xây dựng định thức Hurwitz, trong đó các hệ số của đa thức đặc trưng được sắp xếp theo thứ tự giảm dần của bậc.

Trong định thức Hurwitz, các số hạng trong cùng một cột dưới đường chéo chính có chỉ số tăng dần. Ví dụ, xét một cột, nếu phần tử trên đường chéo chính có chỉ số i, thì các phần tử bên dưới sẽ có chỉ số i+1, i+2, ...

Khâu khuếch đại có chức năng nhân tín hiệu đầu vào với một hệ số khuếch đại K. Do đó, hàm truyền đạt của khâu khuếch đại là một hằng số, G(s) = Kp, trong đó Kp là hệ số khuếch đại.

Hàm truyền đạt trong hệ rời rạc, ký hiệu là H(z), được định nghĩa là tỷ số giữa Z-transform của tín hiệu ra và Z-transform của tín hiệu vào, với giả thiết các điều kiện đầu bằng không. Miền Z là miền biến đổi của tín hiệu rời rạc, tương tự như miền Laplace cho tín hiệu liên tục.

Để xác định tính ổn định của hệ thống kín, ta cần tìm hàm truyền của hệ thống kín. Hàm truyền hệ thống kín có dạng:

T(s) = G(s) / (1 + G(s))

Thay G(s) = (3(s + 4)) / (s^2 + 2s + 1) vào, ta được:

T(s) = ((3(s + 4)) / (s^2 + 2s + 1)) / (1 + (3(s + 4)) / (s^2 + 2s + 1)) = (3(s + 4)) / (s^2 + 2s + 1 + 3(s + 4)) = (3s + 12) / (s^2 + 5s + 13)

Để xét tính ổn định, ta xét các nghiệm của đa thức mẫu số (hay còn gọi là cực của hệ thống kín). Đa thức mẫu số là:

s^2 + 5s + 13 = 0

Giải phương trình bậc hai này, ta có:

Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 1 * 13 = 25 - 52 = -27

Vì Delta < 0, phương trình có hai nghiệm phức liên hợp.

Các nghiệm là:

s_{1,2} = (-b ± sqrt(Delta)) / (2a) = (-5 ± sqrt(-27)) / 2 = (-5 ± 3i*sqrt(3)) / 2 = -2.5 ± 1.5i*sqrt(3)

Phần thực của các nghiệm là -2.5, là một số âm. Vì tất cả các cực của hệ thống kín đều có phần thực âm, hệ thống kín là ổn định.