Hàm truyền đạt của khâu khuếch đại là:

Hàm truyền đạt trong hệ rời rạc, ký hiệu là H(z), được định nghĩa là tỷ số giữa Z-transform của tín hiệu ra và Z-transform của tín hiệu vào, với giả thiết các điều kiện đầu bằng không. Miền Z là miền biến đổi của tín hiệu rời rạc, tương tự như miền Laplace cho tín hiệu liên tục.

Để xác định tính ổn định của hệ thống kín, ta cần tìm hàm truyền của hệ thống kín. Hàm truyền hệ thống kín có dạng:

T(s) = G(s) / (1 + G(s))

Thay G(s) = (3(s + 4)) / (s^2 + 2s + 1) vào, ta được:

T(s) = ((3(s + 4)) / (s^2 + 2s + 1)) / (1 + (3(s + 4)) / (s^2 + 2s + 1)) = (3(s + 4)) / (s^2 + 2s + 1 + 3(s + 4)) = (3s + 12) / (s^2 + 5s + 13)

Để xét tính ổn định, ta xét các nghiệm của đa thức mẫu số (hay còn gọi là cực của hệ thống kín). Đa thức mẫu số là:

s^2 + 5s + 13 = 0

Giải phương trình bậc hai này, ta có:

Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 1 * 13 = 25 - 52 = -27

Vì Delta < 0, phương trình có hai nghiệm phức liên hợp.

Các nghiệm là:

s_{1,2} = (-b ± sqrt(Delta)) / (2a) = (-5 ± sqrt(-27)) / 2 = (-5 ± 3i*sqrt(3)) / 2 = -2.5 ± 1.5i*sqrt(3)

Phần thực của các nghiệm là -2.5, là một số âm. Vì tất cả các cực của hệ thống kín đều có phần thực âm, hệ thống kín là ổn định.

Ta có biến đổi Z của hàm nấc đơn vị (unit step function) u[n] là Z/(Z-1). Khâu 1/p trong miền Laplace tương ứng với hàm nấc đơn vị trong miền thời gian rời rạc khi lấy mẫu với chu kỳ T=1. Vì vậy, biến đổi Z của khâu 1/p là Z/(Z-1).

Biến đổi Laplace của hàm f(t) = e^(at) được tính bằng công thức: L{e^(at)} = ∫0^∞ e^(-pt) * e^(at) dt = ∫0^∞ e^((a-p)t) dt. Để tích phân này hội tụ, ta cần Re(p) > a. Khi đó, kết quả tích phân là 1/(p-a). Do đó, đáp án đúng là 1/(p-a).

Biến đổi Laplace của hàm f(t) = e^(-at) được tính bằng công thức: L{e^(-at)} = ∫₀^∞ e^(-at)e^(-pt) dt = ∫₀^∞ e^(-(p+a)t) dt = [-1/(p+a) * e^(-(p+a)t)] từ 0 đến ∞. Khi t tiến đến vô cùng, e^(-(p+a)t) tiến đến 0 (với Re(p+a) > 0). Khi t = 0, e^(-(p+a)*0) = 1. Do đó, kết quả là 0 - (-1/(p+a)) = 1/(p+a).