Hàm truyền đạt trong hệ rời rạc là tỷ số giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào được biểu diễn trong miền nào?

Để xác định tính ổn định của hệ thống kín, ta cần tìm hàm truyền của hệ thống kín. Hàm truyền hệ thống kín có dạng:

T(s) = G(s) / (1 + G(s))

Thay G(s) = (3(s + 4)) / (s^2 + 2s + 1) vào, ta được:

T(s) = ((3(s + 4)) / (s^2 + 2s + 1)) / (1 + (3(s + 4)) / (s^2 + 2s + 1)) = (3(s + 4)) / (s^2 + 2s + 1 + 3(s + 4)) = (3s + 12) / (s^2 + 5s + 13)

Để xét tính ổn định, ta xét các nghiệm của đa thức mẫu số (hay còn gọi là cực của hệ thống kín). Đa thức mẫu số là:

s^2 + 5s + 13 = 0

Giải phương trình bậc hai này, ta có:

Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 1 * 13 = 25 - 52 = -27

Vì Delta < 0, phương trình có hai nghiệm phức liên hợp.

Các nghiệm là:

s_{1,2} = (-b ± sqrt(Delta)) / (2a) = (-5 ± sqrt(-27)) / 2 = (-5 ± 3i*sqrt(3)) / 2 = -2.5 ± 1.5i*sqrt(3)

Phần thực của các nghiệm là -2.5, là một số âm. Vì tất cả các cực của hệ thống kín đều có phần thực âm, hệ thống kín là ổn định.

Ta có biến đổi Z của hàm nấc đơn vị (unit step function) u[n] là Z/(Z-1). Khâu 1/p trong miền Laplace tương ứng với hàm nấc đơn vị trong miền thời gian rời rạc khi lấy mẫu với chu kỳ T=1. Vì vậy, biến đổi Z của khâu 1/p là Z/(Z-1).

Biến đổi Laplace của hàm f(t) = e^(at) được tính bằng công thức: L{e^(at)} = ∫0^∞ e^(-pt) * e^(at) dt = ∫0^∞ e^((a-p)t) dt. Để tích phân này hội tụ, ta cần Re(p) > a. Khi đó, kết quả tích phân là 1/(p-a). Do đó, đáp án đúng là 1/(p-a).

Biến đổi Laplace của hàm f(t) = e^(-at) được tính bằng công thức: L{e^(-at)} = ∫₀^∞ e^(-at)e^(-pt) dt = ∫₀^∞ e^(-(p+a)t) dt = [-1/(p+a) * e^(-(p+a)t)] từ 0 đến ∞. Khi t tiến đến vô cùng, e^(-(p+a)t) tiến đến 0 (với Re(p+a) > 0). Khi t = 0, e^(-(p+a)*0) = 1. Do đó, kết quả là 0 - (-1/(p+a)) = 1/(p+a).

Đặc tính pha tần số, ký hiệu là φ(ω), thể hiện sự thay đổi pha của tín hiệu đầu ra so với tín hiệu đầu vào theo tần số ω. Nó được tính bằng arctangent của tỷ số giữa phần ảo (Q(ω)) và phần thực (P(ω)) của hàm truyền tần số. Do đó, công thức đúng là φ(ω) = arctg[Q(ω)/P(ω)].