Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X cho bởi \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} a + b{x^2},0 \le x \le 1\\ 0,x \notin \left[ {0;1} \right] \end{array} \right.\)
Với giá trị nào của (a; b) sau đây nếu \(EX = \frac{3}{5}\)?
Trả lời:
Đáp án đúng: A
Để hàm f(x) là hàm mật độ xác suất, ta cần có \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1\). Trong trường hợp này, điều kiện đó trở thành \(\int_{0}^{1} (a + bx^2) dx = 1\).
Tính tích phân: \(\int_{0}^{1} (a + bx^2) dx = [ax + \frac{bx^3}{3}]_0^1 = a + \frac{b}{3}\). Do đó, ta có phương trình: \(a + \frac{b}{3} = 1\) hay \(3a + b = 3\) (1).
Giá trị kỳ vọng EX được tính bởi \(EX = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx\). Trong trường hợp này, \(EX = \int_{0}^{1} x(a + bx^2) dx = \int_{0}^{1} (ax + bx^3) dx = [\frac{ax^2}{2} + \frac{bx^4}{4}]_0^1 = \frac{a}{2} + \frac{b}{4}\). Theo đề bài, \(EX = \frac{3}{5}\), do đó \(\frac{a}{2} + \frac{b}{4} = \frac{3}{5}\) hay \(10a + 5b = 12\) (2).
Giải hệ phương trình:
(1) \(3a + b = 3\)
(2) \(10a + 5b = 12\)
Từ (1), suy ra \(b = 3 - 3a\). Thay vào (2), ta có:
\(10a + 5(3 - 3a) = 12\)
\(10a + 15 - 15a = 12\)
\(-5a = -3\)
\(a = \frac{3}{5}\)
Thay a vào (1): \(3(\frac{3}{5}) + b = 3\) => \(b = 3 - \frac{9}{5} = \frac{15 - 9}{5} = \frac{6}{5}\).
Vậy, (a; b) = (3/5; 6/5).
Chia sẻ hơn 467 câu trắc nghiệm Xác suất thống kê có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đăng ôn thi để đạt kết quả cao trong kì thi sắp diễn ra.
50 câu hỏi 60 phút
