Ba sinh viên cùng làm bài thi. Xác suất làm được bài của sinh viên A là 0,8; của sinh viên B là 0,7; của sinh viên C là 0,6. Thì xác suất để có 2 sinh viên làm được bài là:

Để đi từ tỉnh A đến tỉnh B, ta có thể chọn một trong các phương tiện sau: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay.

* Có 10 cách đi bằng ô tô.
* Có 5 cách đi bằng tàu hỏa.
* Có 3 cách đi bằng tàu thủy.
* Có 2 cách đi bằng máy bay.

Vậy, tổng số cách đi từ tỉnh A đến tỉnh B là: 10 + 5 + 3 + 2 = 20 cách.

Để chọn được một cây bút chì từ 8 cây khác nhau, ta có 8 cách chọn. Để chọn được một cây bút bi từ 6 cây khác nhau, ta có 6 cách chọn. Để chọn được một cuốn tập từ 10 cuốn khác nhau, ta có 10 cách chọn. Vì đây là các hành động độc lập xảy ra đồng thời, ta sử dụng quy tắc nhân để tính tổng số cách chọn: 8 * 6 * 10 = 480 cách.

Để đi từ A đến D, ta có các lựa chọn sau:

* A -> B -> C -> D: Có 3 * 2 * 1 = 6 cách
* A -> B -> D: Có 3 * 3 = 9 cách
* A -> C -> D: Có 2 * 1 = 2 cách
* A -> D: Có 4 cách

Vậy tổng số cách đi từ A đến D là 6 + 9 + 2 + 4 = 21 cách.

Để đi từ D về A, ta cũng có 21 cách (tương tự như trên).

Vậy số cách đi từ A đến D rồi quay lại A là 21 * 21 = 441 cách. Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng với kết quả này. Có lẽ đề bài hoặc hình vẽ có sai sót. Nếu các đoạn đường là một chiều thì đáp án sẽ khác, hoặc nếu có thêm đường đi khác thì kết quả cũng khác.

Tuy nhiên, giả sử đề bài yêu cầu đi từ A đến D *và* quay lại A theo *đúng* con đường vừa đi (ví dụ, nếu đi A->B->C->D thì phải quay lại D->C->B->A), thì:

* A -> B -> C -> D -> C -> B -> A: 6 * 1 = 6 cách (chỉ có 1 cách quay lại)
* A -> B -> D -> B -> A: 9 * 1 = 9 cách
* A -> C -> D -> C -> A: 2 * 1 = 2 cách
* A -> D -> A: 4 * 1 = 4 cách

Tổng cộng: 6 + 9 + 2 + 4 = 21 cách.

Nếu đề bài yêu cầu số cách đi từ A đến D *bất kỳ* rồi quay lại A *bất kỳ* (không nhất thiết đi lại đường cũ), thì số cách sẽ là 21 * 21 = 441, như đã tính ở trên.

Nhận thấy không có đáp án nào gần với các kết quả tính toán trên. Tuy nhiên, nếu giả sử có sự nhầm lẫn và mỗi đoạn đường chỉ có một cách đi (tức là từ A đến B chỉ có 1 cách, không phải 3), thì số cách đi từ A đến D sẽ là:

* A -> B -> C -> D: 1 * 1 * 1 = 1 cách
* A -> B -> D: 1 * 1 = 1 cách
* A -> C -> D: 1 * 1 = 1 cách
* A -> D: 1 cách

Tổng số cách đi từ A đến D là 1 + 1 + 1 + 1 = 4 cách.

Số cách đi từ D về A cũng là 4 cách.

Vậy số cách đi từ A đến D rồi quay lại A là 4 * 4 = 16 cách. Tuy nhiên, vẫn không có đáp án đúng.

Vì không thể xác định được đáp án chính xác do sự thiếu rõ ràng hoặc sai sót trong đề bài và hình vẽ, nên không thể chọn một đáp án đúng.

Để lập số lẻ có 4 chữ số khác nhau từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, ta xét các trường hợp sau:

* Trường hợp 1: Chữ số hàng đơn vị là 1, 3, hoặc 5. Có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị.
* Chữ số hàng nghìn có 4 cách chọn (khác 0 và khác chữ số hàng đơn vị).
* Chữ số hàng chục có 4 cách chọn (khác các chữ số đã chọn).
* Chữ số hàng trăm có 3 cách chọn (khác các chữ số đã chọn).
* Vậy có 3 * 4 * 4 * 3 = 144 số.

Vậy có tổng cộng 144 số thỏa mãn.

Bài toán yêu cầu tính số cách sắp xếp 5 bạn học sinh vào một ghế dài 5 chỗ sao cho An và Dũng luôn ngồi ở hai đầu ghế.

Bước 1: Xác định số cách xếp An và Dũng vào hai đầu ghế. Có 2 cách, hoặc An ngồi đầu ghế bên trái và Dũng ngồi đầu ghế bên phải, hoặc ngược lại.

Bước 2: Sau khi An và Dũng đã ngồi vào hai đầu ghế, còn lại 3 bạn (Bình, Chi, Lệ) và 3 chỗ ngồi. Số cách xếp 3 bạn này vào 3 chỗ là 3! = 3 * 2 * 1 = 6 cách.

Bước 3: Nhân số cách ở bước 1 và bước 2 lại, ta được tổng số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 2 * 6 = 12 cách.

Vậy đáp án đúng là 12.