Ba sinh viên cùng làm bài thi. Xác suất làm được bài của sinh viên A là 0,8; của sinh viên B là 0,7; của sinh viên C là 0,6. Nếu có 2 sinh viên làm được bài, Thì xác suất để sinh viên A không làm được bài là:

Gọi A_i là biến cố người đó chọn chỗ câu thứ i, i=1,2,3. 

Gọi B là biến cố người đó câu được một con cá.

Ta có: P(A₁) = P(A₂) = P(A₃) = 1/3.

P(B/A₁) = 0,6; P(B/A₂) = 0,7; P(B/A₃) = 0,8.

Áp dụng công thức Bayes ta có:

P(A₁/B) = [P(A₁).P(B/A₁)] / [P(A₁).P(B/A₁) + P(A₂).P(B/A₂) + P(A₃).P(B/A₃)]

P(A₁/B) = [(1/3) * 0,6] / [(1/3) * 0,6 + (1/3) * 0,7 + (1/3) * 0,8]

P(A₁/B) = 0,6 / (0,6 + 0,7 + 0,8) = 0,6 / 2,1 = 6/21 = 2/7

Vậy xác suất để người đó câu được cá ở chỗ thứ nhất là 2/7.

Gọi A, B, C là các biến cố xạ thủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba bắn trúng con thú.

Gọi H là biến cố con thú bị tiêu diệt.

Ta có: P(A) = 0,6; P(B) = 0,7; P(C) = 0,8

Đề bài yêu cầu tính xác suất để con thú bị tiêu diệt do trúng 2 phát đạn. Gọi E là biến cố con thú trúng 2 phát đạn. Khi đó ta cần tính P(E|H).

P(E) = P(A).P(B).P(¯C) + P(A).P(¯B).P(C) + P(¯A).P(B).P(C) = 0,6*0,7*0,2 + 0,6*0,3*0,8 + 0,4*0,7*0,8 = 0,084 + 0,144 + 0,224 = 0,452

P(H|E) = 0,8 (theo đề bài)

Vậy xác suất để con thú bị tiêu diệt do trúng 2 phát đạn là: P(E)*P(H|E) = 0,452 * 0,8 = 0,3616

Đáp án đúng là 0,3616

Trong bài toán này, ta có một số lượng lớn sản phẩm (n = 1000) và xác suất tạo ra phế phẩm cho mỗi sản phẩm là nhỏ (p = 0.005). Khi đó, ta có thể xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối Poisson. Điều kiện để xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối Poisson là n lớn (thường n >= 30) và p nhỏ (thường p <= 0.1). Khi đó, tham số λ của phân phối Poisson sẽ là λ = n*p = 1000 * 0.005 = 5.

Phân phối chuẩn thường được dùng để xấp xỉ phân phối nhị thức khi n lớn và p không quá gần 0 hoặc 1. Trong trường hợp này, p khá nhỏ nên phân phối Poisson phù hợp hơn.

Phân phối siêu bội thường được sử dụng khi lấy mẫu không hoàn lại từ một quần thể hữu hạn.

Phân phối Student (t) thường được sử dụng trong các bài toán ước lượng trung bình khi kích thước mẫu nhỏ và độ lệch chuẩn của quần thể không được biết.

Vậy đáp án đúng là Poisson.

Gọi Aj là biến cố "chai thuốc thứ j là thuốc giả". Khi đó, P(Aj) = 1/5, ∀j = 1, 2, 3, 4, 5.

Gọi X là số chai thuốc được kiểm tra đến khi phát hiện ra thuốc giả.

Khi đó, X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị 1, 2, 3, 4, 5.

Ta có: P(X = j) = P(A1̅)P(A2̅)...P(Aj-1̅)P(Aj/A1̅A2̅...Aj-1̅), ∀j = 1, 5̅.

Giải thích:

- P(A1̅) là xác suất chai thuốc thứ nhất không phải là thuốc giả.

- P(A2̅) là xác suất chai thuốc thứ hai không phải là thuốc giả.

- P(Aj-1̅) là xác suất chai thuốc thứ j-1 không phải là thuốc giả.

- P(Aj/A1̅A2̅...Aj-1̅) là xác suất chai thuốc thứ j là thuốc giả, biết rằng các chai thuốc từ 1 đến j-1 không phải là thuốc giả.

Vậy đáp án đúng là đáp án 1.