Trong thí nghiệm giao thoa sóng ở mặt nước, hai nguồn kết hợp đặt tại hai điểm \(A\) và \(B\), dao động cùng pha theo phương thẳng đứng. Trên đoạn \(AB\) quan sát được 13 cực đại giao thoa. Ở mặt nước, đường tròn \((C)\) có tâm \(O\) thuộc trung trực \(AB\) và bán kính \(a\) không đổi (\(2a<AB\)). Khi di chuyển \((C)\) trên mặt nước sao cho tâm \(O\) luôn nằm trên đường trung trực của \(AB\) thì thấy trên \((C)\) có tối đa 12 cực đại giao thoa. Khi trên \((C)\) có 12 điểm cực đại giao thoa thì trong số đó có 4 điểm mà phần tử tại đó dao động ngược pha với nguồn. Đoạn thẳng \(AB\) gần nhất giá trị nào sau đây?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTrên \(AB\) có 12 cực đại
\(6\lambda <AB<7\lambda \) → \(6<AB<7\), chọn \(\lambda =1\)
Dễ thấy rằng, khi di chuyển \((C)\) mà trên \((C)\) có tối đa 12 cực đại tương ứng với tâm \(O\) trùng với trung điểm của \(AB\) đồng thời giao điểm của \((C)\) với \(AB\) là hai cực đại ứng với \(k=\pm 3\).
→ \(a=1,5\)
Trên \((C)\) có 4 cực đại ngược pha với nguồn thì các cực đại này chỉ có thể ứng với \(k=\pm 1,\pm 2\).
Ta xét cực đại \(k=1\)
\({{d}_{1}}-{{d}_{2}}=1\) (1)
Để cùng ngược với nguồn thì
\({{d}_{1}}+{{d}_{2}}=n\) với \(n=8,10,12,...\)(2)
Mặc khác
\({{d}_{1}}+{{d}_{2}}\le 2\sqrt{{{\left( \frac{AB}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}\)
→ \({{d}_{1}}+{{d}_{2}}<2\sqrt{\left( \frac{AB}{2} \right)_{max}^{2}+{{a}^{2}}}=2\sqrt{\left( \frac{7}{2} \right)_{max}^{2}+{{\left( 1,5 \right)}^{2}}}<7,6\)(3)
(2) và (3) → cực đại ngược pha nguồn không nằm tồn tại trên \(k=1\).
Ta xét cực đại \(k=2\)
\({{d}_{1}}-{{d}_{2}}=2\)
Để cùng ngược với nguồn thì
\({{d}_{1}}+{{d}_{2}}=n\) với \(n=7,9,11,...\)
Kết hợp với điều kiện (3) → \({{d}_{1}}+{{d}_{2}}=7\)
→ \({{d}_{1}}=4,5\) và \({{d}_{1}}=2,5\)
Áp dụng công thức đường trung tuyến
\({{a}^{2}}=\frac{d_{1}^{2}+d_{2}^{2}}{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}\)
→ \(AB=6,6\lambda =4,4a\)