Tìm tham số \(m\) để tồn tại duy nhất cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \({\log _{2019}}\left( {x + y} \right) \le 0\) và \(x + y + \sqrt {2xy + m} \ge 1\).

A. m = 2

B. m = 0

C. \(m = - \frac{1}{2}\)

D. \(m = - \frac{1}{3}\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

\(\begin{array}{l} + )\,\,{\log _{2019}}\left( {x + y} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow x + y \le 1 \Leftrightarrow x + y - 1 \le 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ + )\,\,x + y + \sqrt {2xy + m} \ge 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {2xy + m} \ge 1 - x - y\\ \Leftrightarrow 2xy + m \ge {\left( {1 - x - y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2xy + m \ge {x^2} + {y^2} + 1 - 2x - 2y + 2xy\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y - m + 1 \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \le m + 1\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - 1\).

Với \(m = - 1\) ta có \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\x = 1\end{array} \right.\).

Cặp số này không thỏa mãn \(\left( 1 \right)\).

Với \(m > - 1\).

Tập hợp các cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn (1) là nửa mặt phẳng bờ đường thẳng \(x + y - 1 = 0\,\,\left( d \right)\) chứa điểm \(O\).

Tập hợp các cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn (2) là hình tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {1;1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {m + 1} \,\,\,\left( {m > - 1} \right)\).

Để tồn tại duy nhất cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn (1) và (2) thì \(\left( d \right)\) phải tiếp xúc với \(\left( C \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {I;d} \right) = R\) \( \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 + 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \sqrt {m + 1} \Leftrightarrow \sqrt {m + 1} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) \( \Leftrightarrow m + 1 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}\,\,\left( {tm} \right)\).

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài