Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(AC\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\), cắt đường thẳng \(SD\) tại \(E\). Gọi \(V\) và \({V_1}\) lần lượt là thể tích khối chóp \(S.ABCD\) và \(D.ACE\), biết \(V = 5{V_1}\). Tính côsin của góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp \(S.ABCD\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi \(O = AC \cap BD\), vì chóp \(S.ABCD\) đều \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OM\\CD \bot SO\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow CD \bot \left( {SOM} \right)\).
Trong \(\left( {SOM} \right)\) kẻ \(OK \bot SM\,\,\left( {K \in SM} \right)\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}OK \bot SM\\OK \bot CD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow OK \bot \left( {SCD} \right)\).
Mà \(O \in \left( P \right) \Rightarrow OK \subset \left( P \right) \Rightarrow K \in \left( P \right)\).
Trong \(\left( {SCD} \right)\) gọi \(E = CK \cap SD \Rightarrow E = \left( P \right) \cap SD\). Khi đó \(\left( P \right) \equiv \left( {ACE} \right)\).
Trong \(\left( {SBD} \right)\) kẻ \(EH\parallel SO\,\,\left( {H \in BD} \right)\), suy ra \(EH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Ta có: \(\frac{{{V_1}}}{V} = \frac{{{V_{D.ACE}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{\frac{1}{3}EH.{S_{ACD}}}}{{\frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}}} = \frac{{EH}}{{SO}}.\frac{1}{2}\) \( \Rightarrow \frac{1}{5} = \frac{{EH}}{{SO}}.\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{EH}}{{SO}} = \frac{2}{5} = \frac{{DE}}{{DS}}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {SCD} \right) \supset SM \bot CD\\\left( {ABCD} \right) \supset OM \bot CD\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)\)\( = \angle \left( {SM;OM} \right) = \angle SMO\)
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(SMD\) có:
\(\frac{{KS}}{{KM}}.\frac{{CM}}{{CD}}.\frac{{ED}}{{ES}} = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{{KS}}{{KM}}.\frac{1}{2}.\frac{2}{3} = 1 \Leftrightarrow \frac{{KS}}{{KM}} = 3\)\( \Rightarrow \frac{{MK}}{{MS}} = \frac{1}{4}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SOM\), đường cao \(OK\) ta có:
\(O{M^2} = MK.MS \Rightarrow \frac{{O{M^2}}}{{M{S^2}}} = \frac{{MK}}{{MS}} = \frac{1}{4}\) \( \Rightarrow \frac{{OM}}{{MS}} = \frac{1}{2} = \cos \angle SMO\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Phạm Ngũ Lão
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên. Hỏi hàm số \(y = f\left( {3 - 2x} \right) + 2019\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
.jpg.png)
-
Cho \(\int\limits_0^1 {\frac{{xdx}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}} = a + b\ln 3 + c\ln 4\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực. Tính giá trị của \(a + b + c\).
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
.png)
Số nghiệm thực của phương trình \(f\left( x \right) + 1 = 0\) là:
-
Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên có 7 chữ số, lấy ngẫu nhiên một số từ tập \(S\). Xác suất để số lấy được có tận cùng bằng \(3\) và chia hết cho \(7\) có kết quả gần nhất với số nào trong các số sau?
-
Tìm tham số \(m\) để tồn tại duy nhất cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \({\log _{2019}}\left( {x + y} \right) \le 0\) và \(x + y + \sqrt {2xy + m} \ge 1\).
-
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {2;1; - 1} \right)\), \(B\left( { - 1;0;4} \right)\), \(C\left( {0; - 2; - 1} \right)\). Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc \(BC\).
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị đạo hàm \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
.jpg.png)
-
Điểm biểu diễn của số phức \(z = 2019 + bi\) (\(b\) là số thực tùy ý) nằm trên đường thẳng có phương trình là:
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\,\,\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{2}\). Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng \(d\)?
-
Phần thực và phần ảo của số phức \(z = \left( {1 + 2i} \right)i\) lần lượt là:
-
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 4}}\) là:
-
Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = - 2\) và \(\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} = - 5\), khi đó \(\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]dx} \) bằng:
-
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{x + 1}} - 2\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\).
-
Xét số phức thỏa \(\left| z \right| = 3\). Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức \(w = \overline z + i\) là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm của đường tròn đó.
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ:
.jpg.png)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm cấp hai liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết rằng các tiếp tuyến của đồ thị \(y = f\left( x \right)\) tại các điểm có hoành độ \(x = - 1\), \(x = 0\), \(x = 1\) lần lượt tạo với chiều dương của trục \(Ox\) các góc \({30^0}\), \({45^0}\), \({60^0}\). Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^0 {f'\left( x \right).f''\left( x \right)dx} + 4\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^3}.f''\left( x \right)dx} \).
-
Thể tích khối lập phương có cạnh \(2a\) bằng:
-
Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) trên đoạn \(\left[ {3;5} \right]\). Tính \(M - m\).
-
Cho số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(a + \left( {b - 1} \right)i = \frac{{1 + 3i}}{{1 - 2i}}\). Giá trị nào dưới đây là môđun của \(z\).
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\,\,\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}\), \(\left( {{d_2}} \right):\,\,\frac{{x + 1}}{3} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z + 4}}{{ - 1}}\) và \(\left( {{d_3}} \right):\,\,\frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{z}{6}\). Đường thẳng song song \({d_3}\), cắt \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình là:
