Tìm tập hợp \(S\) tất cả các giá trị của tham số thực \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} + 2m} \right)x - 3\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTXĐ: \(D = \mathbb{R}\). Ta có: \(y' = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2m\).
Để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) thì \(y' \le 0\,,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2m \le 0\) với \(\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\).
Đặt \(f\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2m\).
Để \(f\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) phải có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} \le - 1 < 1 \le {x_2}\). Khi đó ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{x_1} \le - 1 < {x_2}\\{x_1} < 1 \le {x_2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} - 2m > 0\\{x_1} + 1 \le 0 < {x_2} + 1\\{x_1} - 1 < 0 \le {x_2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) \le 0\\\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) \le 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 \le 0\\{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 \le 0\end{array} \right.\,\,\,\left( * \right)\)
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 2m\end{array} \right.\).
Khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2m + 2\left( {m + 1} \right) + 1 \le 0\\{m^2} + 2m - 2\left( {m + 1} \right) + 1 \le 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4m + 3 \le 0\\{m^2} - 1 \le 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 \le m \le - 1\\ - 1 \le m \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 1\).
Vậy \(S = \left\{ { - 1} \right\}.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Phạm Ngũ Lão
Câu hỏi liên quan
-
Điểm biểu diễn của số phức \(z = 2019 + bi\) (\(b\) là số thực tùy ý) nằm trên đường thẳng có phương trình là:
-
Phần thực và phần ảo của số phức \(z = \left( {1 + 2i} \right)i\) lần lượt là:
-
Cho phương trình \({\left( {\sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)^x} + {\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \right)^x} = 4\). Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) \(\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) là hai nghiệm thực của phương trình. Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng:
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x + y + z + 5 = 0\). Mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn đi qua \(A\), tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và có bán kính nhỏ nhất. Tính \(a + b + c\).
-
Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) trên đoạn \(\left[ {3;5} \right]\). Tính \(M - m\).
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm cấp hai liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết rằng các tiếp tuyến của đồ thị \(y = f\left( x \right)\) tại các điểm có hoành độ \(x = - 1\), \(x = 0\), \(x = 1\) lần lượt tạo với chiều dương của trục \(Ox\) các góc \({30^0}\), \({45^0}\), \({60^0}\). Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^0 {f'\left( x \right).f''\left( x \right)dx} + 4\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^3}.f''\left( x \right)dx} \).
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right) = {x^{2017}}.{\left( {x - 1} \right)^{2018}}.{\left( {x + 1} \right)^{2019}},\)\(\forall x \in \mathbb{R}\). Hỏi hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị.
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) với \(A\left( {1; - 2;0} \right)\), \(B\left( {3;3;2} \right)\), \(C\left( { - 1;2;2} \right)\) và \(D\left( {3;3;1} \right)\). Độ dài đường cao của tứ diện \(ABCD\) hạ từ đỉnh \(D\) xuống mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ:
.jpg.png)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Tìm tham số \(m\) để tồn tại duy nhất cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \({\log _{2019}}\left( {x + y} \right) \le 0\) và \(x + y + \sqrt {2xy + m} \ge 1\).
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Biết \(SA = 2a\), \(AB = a\), \(BC = a\sqrt 3 \). Tính bán kính \(R\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho vectơ \(\overrightarrow a \) thỏa mãn \(\overrightarrow a = 2\overrightarrow i + \overrightarrow k - 3\overrightarrow j \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là:
-
Thể tích khối lập phương có cạnh \(2a\) bằng:
-
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu tâm \(I\left( {1;2; - 1} \right)\) và cắt mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - y + 2z - 1 = 0\) theo một đường tròn có bán kính bằng \(\sqrt 8 \) có phương trình là:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên. Hỏi hàm số \(y = f\left( {3 - 2x} \right) + 2019\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
.jpg.png)
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(AC\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\), cắt đường thẳng \(SD\) tại \(E\). Gọi \(V\) và \({V_1}\) lần lượt là thể tích khối chóp \(S.ABCD\) và \(D.ACE\), biết \(V = 5{V_1}\). Tính côsin của góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp \(S.ABCD\).
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\,\,\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}\), \(\left( {{d_2}} \right):\,\,\frac{{x + 1}}{3} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z + 4}}{{ - 1}}\) và \(\left( {{d_3}} \right):\,\,\frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{z}{6}\). Đường thẳng song song \({d_3}\), cắt \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình là:
-
Cho hàm số \(y = {\log _3}\left( {2x - 3} \right)\). Tính đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm \(x = 2\).
-
Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên có 7 chữ số, lấy ngẫu nhiên một số từ tập \(S\). Xác suất để số lấy được có tận cùng bằng \(3\) và chia hết cho \(7\) có kết quả gần nhất với số nào trong các số sau?
