Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có chu vi là 12cm. Giátrị lớn nhất của thể tích khối trụ là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là r và h (r, h > 0)
Thiết diện là hình chữ nhật ABCD có chu vi \(2\left( {AB + BC} \right) = 2.\left( {h + 2r} \right)\)
Theo giả thiết ta có \(2\left( {h + 2r} \right) = 12 \Leftrightarrow h + 2r = 6 \Rightarrow h = 6 - 2r\left( {r < 3} \right)\)
Thể tích khối trụ \(V = \pi {r^2}h = \pi {r^2}.\left( {6 - 2r} \right) = \pi r.r.\left( {6 - 2r} \right)\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số \(r;r;6 - 2r\) ta được
\(r + r + 6 - 2r \ge 3\sqrt[3]{{r.r\left( {6 - 2r} \right)}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{r.r.\left( {6 - 2r} \right)}} \le 2 \Leftrightarrow {r^2}\left( {6 - 2r} \right) \le 8 \Leftrightarrow \pi {r^2}\left( {6 - 2r} \right) \le 8\pi \)
Hay \(V \le 8\pi .\) Dấu = xảy ra khi \(r = 6 - 2r \Leftrightarrow r = 2\left( {TM} \right)\)
Vậy giá trị lớn nhất của khối trụ là \(V = 8\pi .\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Sở GD & ĐT Bắc Ninh lần 2