Một cổng chào có dạng hình parabol với chiều cao 18 m, chiều rộng chân đế 12 m. Người ta căng hai sợi dây trang trí AB, CD nằm song song với mặt đất, đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau .

Tỉ số \(\frac{{AB}}{{CD}}\) bằng

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = {x^4}{\left( {2x + 1} \right)^2}\left( {x - 1} \right)\). Số điểm cực trị của hàm số \(f(x)\) là

Điểm M(2;- 3) là điểm biểu diễn của số phức

Cho hai số phức \({z_1} = 2 + 3i\) và \({z_2} =  - 3 - 5i\). Tổng phần thực và phần ảo của số phức \(w = {z_1} + {z_2}\) bằng

Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\sqrt[3]{5}} \right)^{x - 1}} < {5^{x + 3}}\) là

Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thực của phương trình \(f\left( {4x - {x^2}} \right) - 2 = 0\) là

Cho hình hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt đáy và \(SA = a\sqrt 3 \). Đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng \(a\). Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({e^{3m}} + {e^m} = 2\left( {x + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)\left( {1 + x\sqrt {1 - {x^2}} } \right)\) có nghiệm là

Gọi \(a\) là số thực lớn nhất để bất phương trình \({x^2} - x + 2 + a\ln \left( {{x^2} - x + 1} \right) \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in R\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

Ký hiệu \(z_1, z_2\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 4z + 11 = 0\). Giá trị của \({\left| {{z_1}} \right|^2} + 2{\left| {{z_2}} \right|^2}\) bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;- 1;1) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):2x + y - 2z + 10 = 0\). Mặt cầu (S) tâm I tiếp xúc \(\left( \alpha  \right)\) có phương trình là:

Có bao nhiêu cách xếp 4 học sinh vào một cái bàn dài có 4 chỗ ngồi?

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = 2{x^3} - m{x^2} + 2x\) đồng biến trên khoảng (- 2;0)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA=x\) và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau một góc \(60^0\).

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 961 m², người ta muốn mở rộng thêm 4 phần đất sao cho tạo thành hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn. Biết tâm hình tròn trùng với tâm của hình chữ nhật . Tính diện tích nhỏ nhất \({S_{\min }}\) của 4 phần đất được mở rộng.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 4}}{{ - 1}}\). Một vectơ chỉ phương của d là

Biết \(\int\limits_1^2 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x\sqrt {x + 2}  + \left( {x + 2} \right)\sqrt x }}}  = \sqrt a  + \sqrt b  - c\), với \(a, b, c\) là các số nguyên dương. Giá trị của \(a+b+c\) bằng

Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {{3^{2x - 1}} - {3^{x - 1}} + 1} \right) = x\). Giá trị của biểu thức \(\sqrt {{3^{{x_1}}}}  - \sqrt {{3^{{x_2}}}} \) bằng

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(f_1(x)\), \(f_2(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\) và hai đường thẳng \(x=a, x=b\).

Công thức tính diện tích của hình (H) là

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;3), B(2;3;- 4) và C(- 3;1;2). Tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành là