Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn \(\log _{3}^{{}}\left( x+y \right)=\log _{4}^{{}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện \(x+y>0;{{x}^{2}}+{{y}^{2}}>0.\)
Đặt \(t=\log _{3}^{{}}\left( x+y \right)=\log _{4}^{{}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\). Ta có \(\left\{ \begin{align} & x+y={{3}^{t}} \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{4}^{t}} \\ \end{align} \right.\left( 1 \right)\)
Vì \({{\left( x+y \right)}^{2}}\le 2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\Rightarrow {{\left( {{3}^{t}} \right)}^{2}}\le {{2.4}^{t}}\Rightarrow t\le \log _{\frac{9}{4}}^{{}}2\)
Thế thì \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{4}^{t}}\le {{4}^{\log _{\frac{9}{4}}^{{}}2}}\approx 3,27\), vì x nguyên vậy nên \({{x}^{2}}\in \left\{ 0;1 \right\}\).
Với x=0, ta có hệ \(\left\{ \begin{align} & y={{3}^{t}} \\ & {{y}^{2}}={{4}^{t}} \\ \end{align} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t=0 \\ & y=1 \\ \end{align} \right.\)
Với x=1, ta có hệ \(\left\{ \begin{align} & y={{3}^{t}}-1 \\ & {{y}^{2}}={{4}^{t}}-1 \\ \end{align} \right..\) Hệ này có nghiệm \(\left\{ \begin{align} & t=0 \\ & y=0 \\ \end{align} \right.. \)
Với x=-1, ta có hệ \(\left\{ \begin{align} & y={{3}^{t}}+1 \\ & {{y}^{2}}={{4}^{t}}-1 \\ \end{align} \right..\)
Ta có phương trình \({{\left( {{3}^{t}}+1 \right)}^{2}}={{4}^{t}}-1\Leftrightarrow {{9}^{t}}+{{2.3}^{t}}-{{4}^{t}}+2=0\left( * \right)\)
Đặt \(f\left( t \right)={{9}^{t}}+{{2.3}^{t}}-{{4}^{t}}+2\), ta có
Với \(t\ge 0\Rightarrow {{9}^{t}}\ge {{4}^{t}}\Rightarrow f\left( t \right)>0\)
Với \(t<0\Rightarrow {{4}^{t}}<2\Rightarrow f\left( t \right)>0\)
Vậy phương trình \(\left( * \right)\) vô nghiệm
Kết luận: Vậy \(x\in \left\{ 0;1 \right\}\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Tô Hiệu lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=2+2i\) và \({{z}_{2}}=2-i\). Điểm biểu diễn số phức \({{z}_{1}}+{{z}_{2}}\) trên mặt phẳng tọa độ là điểm nào dưới đây?
-
Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000$ đồng/\(1\,{{m}^{2}}\). Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).
.png)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ.
.png)
Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
-
Các đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x+1}{x-1}\) là:
-
Phương trình tham số của đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( 1;2;-3 \right)\) và \(B\left( 3;-1;1 \right)\) là
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( -2;1;0 \right), B\left( 2;-1;2 \right)\). Phương trình của mặt cầu có đường kính AB là
-
Tìm tất cả giá trị của tham số m để bất phương trình \(\log \left( 2{{x}^{2}}+3 \right)>\log \left( {{x}^{2}}+mx+1 \right)\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\).
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng \(60{}^\circ \). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
-
Hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+10\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
-
Nếu \(\int\limits_{2}^{5}{f\left( x \right)\text{d}x}=3\) và \(\int\limits_{5}^{7}{f\left( x \right)\text{d}x}=9\) thì \(\int\limits_{2}^{7}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng bao nhiêu?
-
Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào?
.jpg.png)
-
Cho \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=3,\int\limits_{0}^{2}{g\left( x \right)\text{d}x}=-1\) thì \(\int\limits_{0}^{2}{\left[ f\left( x \right)-5g\left( x \right)+x \right]\text{d}x}\) bằng:
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right): {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2y-6z+5=0\). Tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng:
-
Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-1\) trên đoạn \(\left[ -2;1 \right]\). Tổng M+m bằng:
-
Cho a là số dương tuỳ ý, \(\sqrt[4]{{{a}^{3}}}\) bằng
-
Tìm tập nghiệm S của phương trình \({{{5}^{2{{x}^{2}}-x}}=5}\)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( -2;0;0 \right)\) và vectơ \(\overrightarrow{n}\left( 0;1;1 \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) và đi qua điểm A là
-
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
.png)
Đặt \(g\left( x \right)=f\left( x+2 \right)+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x+2019\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{\text{e}}^{x}}+\cos x\) là
-
Tính đạo hàm của hàm số \(y={{\log }_{5}}({{x}^{2}}+1).\)
