Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( x;y \right)\) thoả mãn \(0\le x\le 2020\) và \({{\log }_{3}}\left( 3x+3 \right)+x=2y+{{9}^{y}}\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \({{\log }_{3}}\left( 3x+3 \right)+x=2y+{{9}^{y}}\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x+1=2y+{{3}^{2y}} \left( 1 \right)\).
Đặt \(t={{\log }_{3}}\left( x+1 \right)\Rightarrow x+1={{3}^{t}}\). Với \(x\in \left[ 0;2020 \right]\Rightarrow t\in \left[ 0;{{\log }_{3}}2021 \right]\).
\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow t+{{3}^{t}}=2y+{{3}^{2y}}\text{ }\left( 2 \right)\).
Xét hàm số \(f\left( u \right)=u+{{3}^{u}},\,\,u\in \left[ 0;{{\log }_{3}}2021 \right]\).
\({f}'\left( u \right)=1+{{3}^{u}}\ln 3>0,\,\,\forall u\in \left[ 0;{{\log }_{3}}2021 \right]\). Và do hàm số \(f\left( u \right)\) liên tục trên \(\left[ 0;{{\log }_{3}}2021 \right]\), suy ra \(f\left( u \right)\) đồng biến trên \(\left[ 0;{{\log }_{3}}2021 \right]\).
Do đó \(\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( t \right)=f\left( 2y \right)\Leftrightarrow t=2y\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)=2y\Leftrightarrow x={{3}^{2y}}-1\).
Vì \(x\in \left[ 0;2020 \right]\) nên \(0\le {{3}^{2y}}-1\le 2020\Leftrightarrow 1\le {{3}^{2y}}\le 2021\)
\(\Leftrightarrow 0\le 2y\le {{\log }_{3}}2021\)
\(\Leftrightarrow 0\le y\le \frac{1}{2}{{\log }_{3}}2021\).
Do \(y\in \mathbb{Z}\) nên \(y\in \left\{ 0;1;2;3 \right\}\). Ứng với mỗi giá trị nguyên của y cho ta 1 giá trị nguyên của x.
Vậy có 4 cặp số nguyên \(\left( x;y \right)\) thoả mãn yêu cầu bài toán.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Trưng Vương lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{1}}=3\) và \({{u}_{2}}=8\). Giá trị của \({{u}_{7}}\) bằng
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 6{x^2}\) là
-
Hàm số nào dưới đây có đồ thị có dạng như đường cong trong hình vẽ?
.PNG)
-
Cho hàm số \(f(x)\) có bảng biến thiên như sau
.PNG)
Hàm số đạt cực đại tại điểm
-
Công thức tính thể tích V của khối nón có bán kính 2r và chiều cao h là:
-
Phương trình \({{\log }_{2}}\left( 3x+1 \right)=-4\) có tập nghiệm là
-
Trong không gian Oxyz, đường thẳng \(d:\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-4}=\frac{z-3}{-5}\) đi qua điểm
-
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \(\left( P \right):x+2y-3z+3=0\) có một vectơ pháp tuyến là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) như hình vẽ dưới đây:
.PNG)
Hỏi hàm số \(y=f\left( {{x}^{2}} \right)\) có bao nhiêu điểm cực đại và bao nhiêu điểm cực tiểu?
-
Mô đun của số phức z = 6 - 2i bằng
-
Thể tích của khối chóp SABC có SA,AB,AC đôi một vuông góc và SA=5,AB=2,AC=3 là:
-
Cho số phức z=4+5i. Số phức \(z+2\overline{z}\) bằng
-
Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có bàng xét dấu của đạo hàm \(f^{\prime}(x)\) như sau
.png)
Hàm số \(f(x)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Một hình cầu có bán kính r=3cm khi đó diện tích mặt cầu là:
-
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, CD. Biết góc giữa đường thẳng MN với mặt phẳng \(\left( SBD \right)\) bằng \({{30}^{{}^\circ }}\)(như hình vẽ).
.png)
Thể tích của khối chóp đều S.ABCD là:
-
Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a \(\left( a>0 \right)\). Khi đó khoảng cách từ đỉnh A đến \(\text{mp}\left( BCD \right)\) bằng
-
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) là đường thẳng
-
Phương trình \({2^{2x + 5}} = \frac{1}{8}\) có nghiệm là
-
Hình chóp có diện tích đáy bằng \(6{{a}^{2}}\); thể tích khối chóp bằng \(30{{a}^{3}}\); chiều cao khối chóp bằng
-
Trong không gian Oxyz cho tam giác OAB có \(A(1;2;3);\,\,B(2;1;3)\). Khi đó tọa độ trọng tâm tam giác OAB có tọa độ là
