Cho z là một số phức khác 0. Miền giá trị của \(\frac{{\left| {z + \overline z } \right| + \left| {z - \overline z } \right|}}{{\left| z \right|}}\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(z = a + bi(a,b \in R) \Rightarrow \overline z = a - bi\). Thế thì
\(\frac{{\left| {z + \overline z } \right| + \left| {z - \overline z } \right|}}{{\left| z \right|}} = \frac{{\left| {2a} \right| + \left| {2bi} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{2(\sqrt {{a^2}} + \sqrt {{b^2}} )}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \le \frac{{2\sqrt {2({a^2} + {b^2})} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2\sqrt 2 .\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left| a \right| = \left| b \right|\). Mặt khác \(\frac{{2(\sqrt {{a^2}} + \sqrt {{b^2}} )}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \ge \frac{{2\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 0 hoặc b = 0
Như vậy ta có \(2 \le \frac{{\left| {z + \overline z } \right| + \left| {z - \overline z } \right|}}{{\left| z \right|}} \le 2\sqrt 2 \)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Toán học tuổi trẻ đề số 2
