Cho tứ diện SABC có trọng tâm G. Một mặt phẳng qua G cắt các tia SA, SB và SC theo thứ tự tại A’, B’ và C’. Đặt \(\frac{{SA'}}{{SA}} = m,\frac{{SB'}}{{SB}} = n,\frac{{SC'}}{{SC}} = p\). Đẳng thức nào dưới đây là đúng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi G1 là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó \(\overrightarrow {SG} = \frac{3}{4}\overrightarrow {S{G_1}} = \frac{1}{4}(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} ).\)
Do \(G \in (A'B'C')\) nên tồn tại \(x,y,z \in R,x + y + z = 1\) sao cho \(\overrightarrow {SG} = x\overrightarrow {SA'} + y\overrightarrow {SB'} + z\overrightarrow {SC'} = \overrightarrow {xmSA} + yn\overrightarrow {SB} + zp\overrightarrow {SC} .\)
So sánh hai đẳng thức trên ta suy ra
\(\left( {xm - \frac{1}{4}} \right)\overrightarrow {SA} + \left( {yn - \frac{1}{4}} \right)\overrightarrow {SB} + \left( {zp - \frac{1}{4}} \right)\overrightarrow {SC} = \overrightarrow 0 .\)
Nhưng do \(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} \) là ba vecto không đồng phẳng nên đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi \(xm = yn = zp = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{{4m}},y = \frac{1}{{4n}},z = \frac{1}{{4p}}.\)
Từ đây và do \(x + y + z = 1\) ta thu được \(\frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{p} = 4.\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Toán học tuổi trẻ đề số 2
