Cho \(x,\,\,y\) là các số thực dương. Xét các hình chóp \(S.ABC\) có \(SA=x,\,\,BC=y,\) các cạnh còn lại đều bằng \(1.\) Khi \(x,\,\,y\) thay đổi, thể tích khối chóp \(S.ABC\) có giá trị lớn nhất là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.JPG)
Gọi \(I,\,\,H\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,\,BC.\) Ta có \(\left\{ \begin{align} & BI\bot SA \\ & CI\bot SA \\\end{align} \right.\Rightarrow SA\bot \left( BIC \right)\) và \({{V}_{S.IBC}}={{V}_{A.IBC}}.\)
Lại có \(BI=\sqrt{S{{B}^{2}}-S{{I}^{2}}}=\sqrt{1-\frac{{{x}^{2}}}{4}}=\frac{\sqrt{4-{{x}^{2}}}}{2}.\)
Và \(IH=\sqrt{I{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{\frac{4-{{x}^{2}}}{4}-\frac{{{y}^{2}}}{4}}=\frac{\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}{2}.\)
Diện tích tam giác \(IBC\) là \({{S}_{\Delta \,IBC}}=\frac{1}{2}.IH.BC=\frac{y}{4}\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}.\)
Suy ra \({{V}_{S.IBC}}={{V}_{A.IBC}}=\frac{1}{3}.\frac{x}{2}.\frac{y}{4}\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}=\frac{xy}{24}\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}.\)
Khi đó, thể tích khối chóp \(S.ABC\) là \({{V}_{S.ABC}}=2\,{{V}_{S.IBC}}=\frac{xy}{12}\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}.\)
Ta có \(xy\le \frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}\)\(\Rightarrow \)\(V\le \frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{24}\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}.\)
Đặt \(t=\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}\in \left( 0;2 \right),\) khi đó \(V\le f\left( t \right)=\frac{t\left( 4-{{t}^{2}} \right)}{24}\le \frac{16\sqrt{3}}{9}\) (khảo sát hàm số).
Vậy giá trị lớn nhất của \({{V}_{S.ABC}}\) là \({{V}_{\max }}=\frac{2\sqrt{3}}{27}.\)
Chọn B.
