Cho số phức z thay đổi thỏa mãn \(\left| z-1 \right|+\left| z-i \right|=4\). Gọi \(\left( C \right)\) là đường cong tạo bởi tất cả các điểm biểu diễn số phức \(\left( z-2i \right)\left( 2i+1 \right)\) khi z thay đổi. Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(\left( C \right)\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(\left( {z - 2i} \right)\left( {2i + 1} \right) = x + yi \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} z - 2i = \frac{{x + yi}}{{2i + 1}} \Rightarrow z - i = \frac{{x - 2 + \left( {y + 1} \right)i}}{{2i + 1}}\\ z - 1 = \frac{{x + yi}}{{2i + 1}} + 2i - 1 = \frac{{x - 5 + yi}}{{2i + 1}} \end{array} \right.\)
Ta có: \(\left| {z - 1} \right| + \left| {z - i} \right| = 4 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + {y^2}} = 4\sqrt 5 \) (1)
Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức \(\left( {z - 2i} \right)\left( {2i + 1} \right)\) khi z thay đổi.
\({F_1}\left( {2; - 1} \right),{F_2}\left( {5;0} \right)\).
Từ (1) ta có: \(M{F_1} + M{F_2} = 4\sqrt 5 \).
Do đó quỹ tích điểm M là elip nhận \({F_1},{F_2}\) là hai tiêu điểm.
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4\sqrt 5 = 2a \Rightarrow a = 2\sqrt 5 \\ {F_1}{F_2} = 2c = \sqrt {10} \Rightarrow c = \frac{{\sqrt {10} }}{2} \end{array} \right. \Rightarrow b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} = \frac{{\sqrt {70} }}{2}\)
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là \({S_{\left( C \right)}} = \pi ab = 5\pi \sqrt {14} \).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Thị Diệu lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Một hình lập phương có cạnh bằng 3. Thể tích của lập phương là bao nhiêu?
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{1}}=-2, {{u}_{6}}=8\). Tìm công sai d của cấp số cộng đó.
-
Với a là số thực khác 0. Khi đó \(\sqrt{{{a}^{4}}}\) bằng:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} {e^x} + a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,x \ge 0\\ - {x^3} + bx\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,x < 0 \end{array} \right.\) có đạo hàm tại \({x_0} = 0\). Tích phân \(I = \int\limits_{\ln \left( {\frac{e}{{e + 1}}} \right)}^{ - \ln \left( {e + 1} \right)} {\frac{1}{{1 + a{e^x}}}f\left( {\ln \left( {b{e^{ - x}} + a} \right)} \right)dx} = m - ne\). Giá trị của \(P = 2m + \frac{n}{2}\) bằng
-
Nghiệm của phương trình \({\log _5}\left( {2x} \right) = 2\) là:
-
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-7x+1\) trên đoạn \(\left[ -2;1 \right]\).
-
Tìm nghiệm của bất phương trình: \({2^{{x^2} - x + 8}} < {4^{1 - 3x}}\)
-
Cho hàm số \(y={{x}^{2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\), biết rằng tồn tại hai điểm A,B thuộc đồ thị \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến tại A,B và đường thẳng vuông góc với hai tiếp tuyến tại A,B tạo thành một hình chữ nhật \(\left( H \right)\) có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Gọi \({{S}_{1}}\) là diện tích giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) và hai tiếp tuyến, \(S{{}_{2}}\) là diện tích hình chữ nhật \(\left( H \right)\). Tính tỉ số \(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}\)?
-
Đồ thị của hàm số \(y={{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-3\) cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
-
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
-
Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:
-
Tổ lớp 12A1 có 12 học sinh. Số cách chọn 4 học sinh của tổ 1 làm trực nhật của ngày thứ hai là:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng
-
Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) cạnh a. Gọi \(\alpha \) là góc giữa \({A}'C\) và \(\left( AD{D}'{A}' \right)\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
-
Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác suất để tích số chấm xuất hiện trên con súc sắc trong 2 lần gieo là một số lẻ.
-
Cho hàm số \(f(x)=3-{{x}^{2}}+{{x}^{4}}\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 0;-1;-2 \right)\) và \(B\left( 2;2;2 \right)\). Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là
-
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{{2022}}} \right)^x}\)
-
Cho \(\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}=-5, \int\limits_{1}^{3}{\left[ f\left( x \right)-2g\left( x \right) \right]\text{d}x}=9\). Tính \(\int\limits_{1}^{3}{g\left( x \right)\text{d}x}\).
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA$ vuông góc với đáy và \(SA=a\sqrt{2}\). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
