Cho phương trình \({{3}^{x}}\left( {{3}^{2x}}+1 \right)-\left( {{3}^{x}}+m+2 \right)\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}=2\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}\), với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để phương trình có nghiệm thực?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\({{3}^{x}}\left( {{3}^{2x}}+1 \right)-\left( {{3}^{x}}+m+2 \right)\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}=2\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}\)
\(\Leftrightarrow {{3}^{x}}\left( {{3}^{2x}}+1 \right)=\left( {{3}^{x}}+m+2 \right)\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}+2\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}\)
\(\Leftrightarrow {{3}^{3x}}+{{3}^{x}}=\left( {{3}^{x}}+m+3 \right)\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}+\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}\)
\(\Leftrightarrow {{3}^{3x}}+{{3}^{x}}={{\left( \sqrt{{{3}^{x}}+m+3} \right)}^{3}}+\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}\).
Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right)={{t}^{3}}+t\) có \({f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0,\text{ }\forall t\in \mathbb{R}\).
Vậy \(\Leftrightarrow {{3}^{3x}}+{{3}^{x}}={{\left( \sqrt{{{3}^{x}}+m+3} \right)}^{3}}+\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}\Leftrightarrow f\left( {{3}^{x}} \right)=f\left( \sqrt{{{3}^{x}}+m+3} \right)\)
\(\Leftrightarrow {{3}^{x}}=\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}\Leftrightarrow {{3}^{2x}}-{{3}^{x}}-3=m\). (*)
Đặt \(u={{3}^{x}}\), với điều kiện u>0 và đặt \(g\left( u \right)={{u}^{2}}-u-3\)
Phương trình (*) \(\Leftrightarrow g\left( u \right)=m\).
\({g}'\left( u \right)=2u-1, {g}'\left( u \right)=0\Leftrightarrow u=\frac{1}{2}\) ta có bảng biến thiên của \(g\left( u \right)\):
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm thực khi và chỉ khi \(m>-\frac{13}{4}\).
Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên âm của m để phương trình có nghiệm thực là: -3; -2; -1.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Mạc Đĩnh Chi lần 2