Cho m, n là các số nguyên dương khác 1. Gọi P là tích các nghiệm của phương trình \(2018\left( {{{\log }_m}x} \right)\left( {{{\log }_n}x} \right) = 2017{\log _m}x + 2018{\log _n}x + 2019.\) P nguyên và đạt giá trị nhỏ nhất khi:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: x > 0.
Với điều kiện đó phương trình đã cho được biến đỏi tương đương thành phương trình:
\(2018\left( {{{\log }_m}x} \right)\left( {{{\log }_n}m.{{\log }_m}x} \right) - 2017{\log _m}x - 2018{\log _n}m.{\log _m}x - 2019 = 0(1).\)
Đặt \(t = {\log _m}x,t \in R.\) Khi đó phương trình (1) trở thành phương trình:
\(2018\left( {{{\log }_n}m} \right){t^2} - \left( {2017 + 2018{{\log }_n}m} \right)t - 2019 = 0\) (2).
Do phương trình (2) có \(2{\log _n}m.\left( { - 2019} \right) < 0\) nên phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu, do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2.
Xét \({\log _m}{x_1}{x_2} = {\log _m}{x_1} + {\log _m}{x_2} = \frac{{2017 + 2018{{\log }_n}m}}{{2018{{\log }_n}m}} = \frac{{2017}}{{2018{{\log }_n}m}} + 1.\)
Suy ra: \({x_1}{x_2} = {m^{\frac{{2017}}{{2018{{\log }_n}m}} + 1.}} = {m^{\frac{{2017}}{{2018}}{{\log }_n}n + 1}} = m.{n^{\frac{{2017}}{{2018}}}}.\)
Theo bài m là số nguyên dương khác 1 nên \(m \ge 2,\) do đó \(P = {x_1}{x_2} \ge 2\sqrt[{2018}]{{{n^{2017}}}}.\)
Mặt khác n là số nguyên dương khác 1 nên \(n \ge 2\) và 2017, 2018 là hai số nguyên tốc cùng nhau nên để P nguyên và có giá trị nhỏ nhất khi \(n = {2^{2018}}.\) Lúc đó \(m.n = {2.2^{2018}} = {2^{2019}}.\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Quang Trung - Bình Phước lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\) ?
-
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
.png)
-
Tính thể tích của khối bát diện đều có tất cả các cạnh bằng \(2a\).
-
Một con châu chấu nhảy từ gốc tọa độ đến điểm có tọa độ là A(9;0) dọc theo trục Ox của hệ trục tọa độ Oxy. Hỏi con châu chấu có bao nhiêu cách nhảy để đến điểm A, biết mỗi lần nó có thể nhảy 1 bước hoặc 2 bước (1 bước có độ dài 1 đơn vị).
-
Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x + 9} - 3}}{{{x^2} + x}}.\)
-
Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M thuộc cạnh AC sao cho AB = 2AM, đường tròn tâm I đường kính CM cắt BM tại D, đường thẳng CD có phương trình \(x - 3y - 6 = 0.\) Biết I(1;-1), điểm \(E\left( {\frac{4}{3};0} \right)\) thuộc đường thẳng BC, \({x_C} \in Z.\) Biết điểm B có tọa độ (a;b). Khi đó:
-
Tập tất cả các giá trị của m để phương trình \(2x\sqrt {1 - {x^2}} - m\left( {x + \sqrt {1 - {x^2}} } \right) + m + 1 = 0\) không có nghiệm thực là tập (a;b). Khi đó
-
Giá trị của m để phương trình \({x^3} - 3{x^2} + x - m = 0\) có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
-
Một cái phễu có dạng hình nón, chiều cao của phễu là 20 cm. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng 10 cm. Nếu bịt kín miệng phễu và lật ngược phễu lên thì chiều cao của cột nước trong phễu gần bằng nhất với giá trị nào sau đây.
.png)
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính góc giữa hai mặt phẳng (A'B'C') và (C'D'A)
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như hình bên dưới. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
.PNG)
-
Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' , biết thể tích lăng trụ là V. Tính thể tích khối chóp C.ABB'A' ?
-
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và \(OC = 2a, OA = OB = a\). Gọi M là trung điểm của AB. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AC.
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi M là trung điểm của BB'.Tính thể tích khối A'MCD
.png)
-
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \(y = \frac{{mx + 16}}{{x + m}}\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) ?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đúng ba điểm cực trị là 0; 1; 2 và có đạo hàm liên tục trên R. Khi đó hàm số \(y = f\left( {4x - 4{x^2}} \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Một người mua một căn hộ với giá 900 triều đồng. Người đó trả trước với số tiền là 500 triệu đồng. Số tiền còn lại người đó thanh toán theo hình thức trả góp với lãi suất tính trên tổng số tiền còn nợ là 0,5% mỗi tháng. Kể từ ngày mua, sau đúng mỗi tháng người đó trả số tiền cố định là 4 triệu đồng (cả gốc lẫn lãi). Tìm thời gian (làm tròn đến hàng đơn vị) để người đó trả hết nợ.
-
Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm các cạnh SB, SC. Biết mặt phẳng (AEF) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
.png)
Thể tích của khối chóp S.ABC.
-
Véc tơ nào trong các véc tơ dưới đây là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng \(y + 2x - 1 = 0?\)
-
Gọi S là tập nghiệm của phương trình \({\log _{\sqrt 2 }}{\left( {x - 1} \right)^3} - {\log _2}{\left( {x - 3} \right)^2} = 2{\log _2}\left( {x - 1} \right)\) trên R. Tìm số phần tử của S.
