Cho m, n là các số nguyên dương khác 1. Gọi P là tích các nghiệm của phương trình \(2018\left( {{{\log }_m}x} \right)\left( {{{\log }_n}x} \right) = 2017{\log _m}x + 2018{\log _n}x + 2019.\) P nguyên và đạt giá trị nhỏ nhất khi:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: x > 0.
Với điều kiện đó phương trình đã cho được biến đỏi tương đương thành phương trình:
\(2018\left( {{{\log }_m}x} \right)\left( {{{\log }_n}m.{{\log }_m}x} \right) - 2017{\log _m}x - 2018{\log _n}m.{\log _m}x - 2019 = 0(1).\)
Đặt \(t = {\log _m}x,t \in R.\) Khi đó phương trình (1) trở thành phương trình:
\(2018\left( {{{\log }_n}m} \right){t^2} - \left( {2017 + 2018{{\log }_n}m} \right)t - 2019 = 0\) (2).
Do phương trình (2) có \(2{\log _n}m.\left( { - 2019} \right) < 0\) nên phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu, do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2.
Xét \({\log _m}{x_1}{x_2} = {\log _m}{x_1} + {\log _m}{x_2} = \frac{{2017 + 2018{{\log }_n}m}}{{2018{{\log }_n}m}} = \frac{{2017}}{{2018{{\log }_n}m}} + 1.\)
Suy ra: \({x_1}{x_2} = {m^{\frac{{2017}}{{2018{{\log }_n}m}} + 1.}} = {m^{\frac{{2017}}{{2018}}{{\log }_n}n + 1}} = m.{n^{\frac{{2017}}{{2018}}}}.\)
Theo bài m là số nguyên dương khác 1 nên \(m \ge 2,\) do đó \(P = {x_1}{x_2} \ge 2\sqrt[{2018}]{{{n^{2017}}}}.\)
Mặt khác n là số nguyên dương khác 1 nên \(n \ge 2\) và 2017, 2018 là hai số nguyên tốc cùng nhau nên để P nguyên và có giá trị nhỏ nhất khi \(n = {2^{2018}}.\) Lúc đó \(m.n = {2.2^{2018}} = {2^{2019}}.\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Quang Trung - Bình Phước lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Tập hợp tất cả các số thực x thỏa mãn \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{4x}} \le {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2 - x}}\) là
-
Cho \(a, b, c\) là các số thực dương và khác 1. Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số \(y = {\log _a}x,y = {\log _b}x,y = {\log _c}x.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
.png)
-
Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?
-
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như hình bên dưới. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
.PNG)
-
Trong các hàm số sau hàm số nào nghịch biến trên R?
-
Đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\) là
-
Gọi S là tập nghiệm của phương trình \({\log _{\sqrt 2 }}{\left( {x - 1} \right)^3} - {\log _2}{\left( {x - 3} \right)^2} = 2{\log _2}\left( {x - 1} \right)\) trên R. Tìm số phần tử của S.
-
Gọi d là tiếp tuyến tại điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} + 2.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M thuộc cạnh AC sao cho AB = 2AM, đường tròn tâm I đường kính CM cắt BM tại D, đường thẳng CD có phương trình \(x - 3y - 6 = 0.\) Biết I(1;-1), điểm \(E\left( {\frac{4}{3};0} \right)\) thuộc đường thẳng BC, \({x_C} \in Z.\) Biết điểm B có tọa độ (a;b). Khi đó:
-
Điều kiện xác định của phương trình \(\sqrt {x - 2} + \frac{6}{{x - 3}} = 4\) là tập nào sau đây?
-
Một cái phễu có dạng hình nón, chiều cao của phễu là 20 cm. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng 10 cm. Nếu bịt kín miệng phễu và lật ngược phễu lên thì chiều cao của cột nước trong phễu gần bằng nhất với giá trị nào sau đây.
.png)
-
Cho hình chóp đều S.ABC có \(AB = a,\widehat {ASB} = {30^0}.\) Lấy các điểm B', C' lần lượt thuộc các cạnh SB, SC sao cho chu vi tam giác AB'C' nhỏ nhất. Tính chu vi đó.
-
Với \(a = {\log _2}7,b = {\log _5}7.\) Tính giá trị của \({\log _{10}}7.\)
-
Số cách chọn ra ba bạn bất kỳ từ một lớp có 30 bạn là
-
Một con châu chấu nhảy từ gốc tọa độ đến điểm có tọa độ là A(9;0) dọc theo trục Ox của hệ trục tọa độ Oxy. Hỏi con châu chấu có bao nhiêu cách nhảy để đến điểm A, biết mỗi lần nó có thể nhảy 1 bước hoặc 2 bước (1 bước có độ dài 1 đơn vị).
-
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} - 1\) trên đoạn [-2;1]. Tính M + m.
-
Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2018\pi } \right]\) của phương trình \(\cos 2x - 2\sin x + 3 = 0\) là
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi M là trung điểm của BB'.Tính thể tích khối A'MCD
.png)
-
Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\) ?
