Cho \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y=\sqrt{3}{{x}^{2}}\), cung tròn có phương trình \(y=\sqrt{4-{{x}^{2}}}\) (với \(0\le x\le 2\)) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của \(\left( H \right)\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn B
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol \(y=\sqrt{3}{{x}^{2}}\) và cung tròn \(y=\sqrt{4-{{x}^{2}}}\)
(với \(0\le x\le 2\)) lả \(\sqrt{4-{{x}^{2}}}=\sqrt{3}{{x}^{2}}\)\( \Leftrightarrow 4-{{x}^{2}}=3{{x}^{4}}\Leftrightarrow x=1\).
Diện tích của \(\left( H \right)\) là
\(S=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{3}{{x}^{2}}dx}+\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}\\ =\frac{\sqrt{3}}{3}{{x}^{3}}\left| \begin{align} & ^{1} \\ & _{0} \\ \end{align} \right.+I\\ =\frac{\sqrt{3}}{3}+I\) với \(I=\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}\).
Đặt \(x=2\sin t\), \(t\in \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]\Rightarrow dx=2\cos t.dt\)
Đổi cận \(x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{6}\), \(x=2\Rightarrow t=\frac{\pi }{2}\).
\(I=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\sqrt{4-4{{\sin }^{2}}t}.2\cos t.dt}\\ =\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{4{{\cos }^{2}}t.dt}\\ =\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{2\left( 1+\cos 2t \right).dt}\\ =\left( 2x+\sin 2t \right)\left| \begin{align} & ^{\frac{\pi }{2}} \\ & _{\frac{\pi }{6}} \\ \end{align} \right.\)
\(=\frac{2\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Vậy \(S=\frac{\sqrt{3}}{3}+I\)\( =\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{2\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\)\( =\frac{4\pi -\sqrt{3}}{6}\)
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Phú Lâm
