Cho lăng trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, $AB=2;AC=\sqrt{3}$. Góc $\widehat{CA{A}'}={{90}^{0}},\widehat{BA{A}'}={{120}^{0}}$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $B{B}'$. Biết $CM$ vuông góc với ${A}'B$, tính thể khối lăng trụ đã cho.

Hàm số $y={{x}^{4}}-2$ nghịch biến trên khoảng nào? 

Tính thể tích $V$của khối chóp có diện tích đáy bằng $B$ và chiều cao bằng $h$là 

Biết rằng đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2a{{x}^{2}}+b$ có một điểm cực trị là $\left( 1\,;\,2 \right)$. Tính khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho. 

Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ $\left( a,b,c,d\in \mathbb{R} \right)$ có đồ thị như hình vẽ.

Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${{f}^{2}}\left( x \right)-\left( m+5 \right)\left| f\left( x \right) \right|+4m+4=0$ có $7$nghiệm phân biệt là

Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên?

Giả sử phương trình ${{25}^{x}}+{{15}^{x}}={{6.9}^{x}}$ có một nghiệm duy nhất được viết dưới dạng $\frac{a}{{{\log }_{b}}c-{{\log }_{b}}d}$, với $a$ là số nguyên dương và $b,c,d$ là các số nguyên tố. Tính $S={{a}^{2}}+b+c+d$. 

Khối tròn xoay sinh bởi một tam giác đều cạnh $a$ (kể cả điểm trong) khi quay quanh một đường thẳng chứa một cạnh của tam giác đó có thể tích bằng 

Tổng các nghiệm của phương trình  ${{3}^{{{x}^{2}}-3x}}=\frac{1}{9}$ bằng

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $2a$, cạnh bên bằng $3a$. Gọi $\alpha$là góc giữa mặt bên và mặt đáy. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 

Một người gửi $100$ triệu  đồng vào ngân hàng với lãi suất $0,4%/$ tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ta khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được lập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi sau $6$ tháng, người đó được lĩnh số tiền ( cả vốn ban đầu và lãi) gần nhất với số tiền nào dưới đây, nếu trong khoảng thời gian này người đó không rút tiền ra và lãi xuất không thay đổi?

Cho hình nón có bán kính đáy $r=\sqrt{3}$ và độ dài đường sinh $l=4$. Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho. 

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)=(x-1)({{x}^{2}}-3x+3)$$\forall x\in \mathbb{R}$. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 

Hàm số$y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-3x+1$đạt cực tiểu tại điểm 

Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước bằng $a,\,a\sqrt{2},\,a\sqrt{3}$ là 

Trên đoạn $\left[ -2;1 \right]$, hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-1$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm 

Với $a$là số thực thỏa mãn $0<a\ne 1$,  giá trị của biểu thức ${{a}^{3{{\log }_{a}}\,2}}$ bằng

Cho $a,b$ là các số thực thỏa mãn${{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{a}}>{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{b}}$. Kết luận nào sau đây đúng? 

Tìm số các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc khoảng $\left( -20;20 \right)$ để hàm số

$f\left( x \right)=\frac{1}{7}{{x}^{7}}+\frac{6}{5}{{x}^{5}}-\frac{{{m}^{3}}}{4}{{x}^{4}}+\left( 5-{{m}^{2}} \right){{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+10x+2020$ đồng biến trên $\left( 0;1 \right)$. 

Cho hình chóp $S.ABCD$có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA$vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=a$. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$. Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left( SAB \right).$ 

Cho $a$ là số thực dương khác 1. Giá trị của biểu thức ${{\log }_{a}}\left( \frac{{{a}^{2}}\sqrt[3]{{{a}^{2}}}\sqrt[5]{{{a}^{4}}}}{\sqrt[15]{{{a}^{7}}}} \right)$ bằng