Cho khối nón \(\left( N \right)\) đỉnh \(S\), có chiều cao là \(a\sqrt 3 \) và độ dài đường sinh là \(3a\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua đỉnh \(S\), cắt và tạo với mặt đáy của khối nón một góc \({60^0}\). Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\) và khối nón \(\left( N \right)\). 

Cho số thực \(a > 0;a \ne 1.\) Giá trị của \({\log _{{a^2}}}\left( {\sqrt[7]{{{a^3}}}} \right)\)  bằng 

Trong hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng chéo nhau \({d_1}:\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z - 6}}{{ - 2}}\)  và \({d_2}:\dfrac{{x - 4}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{3}\) . Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \({d_1}\) và song song với \({d_2}\) là: 

Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a,\) tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo \(a\) thể tích khối chóp \(S.ABC\)  

Cho lăng trụ tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh \(a\), chiều cao \(2a.\) Tính thể tích khối lăng trụ. 

Trong hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right);B\left( {0; - 1;0} \right);C\left( {0;0;2} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là 

Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {0;1;0} \right),\,C\left( {3;0;1} \right)\). Diện tích mặt cầu nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC làm đường tròn lớn là: 

Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là \(AB = 8m.\) Người ta treo một tấm phông hình chữ nhật có hai đỉnh \(M,N\) nằm trên Parabol và hai đỉnh \(P,Q\) nằm trên mặt đất (như hình vẽ). Ở phần phía ngoài phông (phần không tô đen) người ta mua hoa để trang trí với chi phí cho \(1{m^2}\) cần số tiền mua hoa là \(200.000\) đồng cho \(1{m^2}.\) Biết \(MN = 4m;MQ = 6m.\) Hỏi số tiền dùng để mua hoa trang trí chiếc cổng gần với số tiền nào sau đây?

Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^9}\) trong khai triển nhị thức Newton của biểu thức \({\left( {3 + x} \right)^{11}}\). 

Số nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {\dfrac{{{{5.2}^x} - 8}}{{{2^x} + 2}}} \right) = 3 - x\) là 

Trong hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\). Điểm \(M\) nằm trên \(\Delta \) thì điểm \(M\) có dạng nào sau đây? 

Cho hai số phức \(z,w\) thay đổi thỏa mãn \(\left| z \right| = 3,\left| {z - w} \right| = 1\). Biết tập hợp điểm của số phức \(w\) là hình phẳng \(H\). Tính diện tích \(S\) của hình \(H\). 

Trong hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {3;5;3} \right)\) và hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y + 2z - 8 = 0\), \(\left( Q \right):x - 4y + z - 4 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và song song với cả hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\). 

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng, biết \({u_2} + {u_{21}} = 50.\) Tính tổng của \(22\) số hạng đầu tiên của dãy. 

Trong hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1; - 1;2} \right)\) và hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 - t\\z =  - 1\end{array} \right.,{d_2}:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{1}\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và cắt cả hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) có véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \left( {1;a;b} \right)\), tính \(a + b\). 

Đường cong như hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?

Cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\)  và \({d_2}:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - m}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 1}}\)  (với \(m\) là tham số). Tìm \(m\) để hai đường thẳng \({d_1};{d_2}\) cắt nhau. 

Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có đáy làm tam giác đều cạnh \(a,AA' = 2a\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(AB'\) và \(BC'\). Tính \(\cos \alpha \). 

Cho \(\int {{{\left( {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right)}^2}dx = mx + n\ln \left| {x + 1} \right|}  + \dfrac{p}{{x + 1}} + C\). Giá trị của biểu thức \(m + n + p\) bằng 

Trong hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(I\left( {2; - 1; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y - 2z + 3 = 0\). Viết phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) 

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, \(AB = a,\,\,SA = 2a,\,\,SA \bot \left( {ABC} \right)\). Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) là: