Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a,SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a. Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) và \(\left( SCD \right)\) bằng \(\varphi ,\) với \(\cos \varphi =\frac{1}{\sqrt{3}}.\) Thể tích khối chóp đã cho bằng 

Đặt AD=x với x>0.

Trong mặt phẳng \(\left( SAC \right):\) kẻ \(AH\bot SB\) tại H; trong mặt phẳng \(\left( SAD \right)\), kẻ \(AK\bot SD\) tại K.

Dễ dàng chứng minh được \(AH\bot \left( SBC \right)\), \(AK\bot \left( SCD \right)\) và H là trung điểm của SB.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ

Ta có: \(A\left( 0;0;0 \right),B\left( a;0;0 \right),S\left( 0;0;a \right),D\left( 0;x;0 \right),H\left( \frac{a}{2};0;\frac{a}{2} \right)\)

Suy ra: \(\overrightarrow{SD}=\left( 0;x;-a \right),\overrightarrow{AS}=\left( 0;0;a \right),\overrightarrow{AH}=\left( \frac{a}{2};0;\frac{a}{2} \right).\)

Trong tam giác SAD vuông tại A có

\(S{{A}^{2}}=SK.SD\Leftrightarrow \frac{SK}{SD}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{D}^{2}}}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{SK}=\frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}\overrightarrow{SD}\Leftrightarrow \overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AS}=\frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}\overrightarrow{SD}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AK}=\frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}\overrightarrow{SD}+\overrightarrow{AS}\Leftrightarrow \overrightarrow{AK}=\left( 0;\frac{{{a}^{2}}x}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}};\frac{a{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}} \right)\).

Do \(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AK}\) lần lượt là hai véc-tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) và \(\left( SCD \right)\) nên

\(\cos \varphi =\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \frac{\left| \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AK} \right|}{\left| \overrightarrow{AH} \right|.\left| \overrightarrow{AK} \right|}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{3}\left| \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AK} \right|=\left| \overrightarrow{AH} \right|.\left| \overrightarrow{AK} \right|\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{3}.\left| \frac{a}{2}.\frac{a{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}} \right|=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\sqrt{\frac{{{a}^{4}}{{x}^{2}}}{{{\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}+\frac{{{a}^{2}}{{x}^{4}}}{{{\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}}\)

\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{{{a}^{2}}.{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{{{a}^{2}}x}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}\Leftrightarrow \sqrt{3}x=\sqrt{2}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}\)

\(\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}=2{{a}^{2}}+2{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=2{{a}^{2}}\Leftrightarrow x=a\sqrt{2}=AD.\)

Thể tích khối chóp S.ABCD là \(V=\frac{1}{3}SA.AB.AD=\frac{1}{3}.a.a.a\sqrt{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.\)