Cho \(I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{x}^{2}}+{{\left( x+\ln x \right)}^{2}}+x}{{{x}^{2}}{{\left( x+\ln x \right)}^{2}}}\text{d}x}=\frac{a}{2}-\frac{1}{b+\ln c}\) với \(a\), \(b\), \(c\) là các số nguyên dương. Khẳng định nào sau đây đúng ?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn D
Ta có \(I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{\left( x+\ln x \right)}^{2}}+x\left( x+1 \right)}{{{x}^{2}}{{\left( x+\ln x \right)}^{2}}}\text{d}x}\) \(=\int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{{{x}^{2}}}\text{d}x}+\int\limits_{1}^{2}{\frac{x+1}{x{{\left( x+\ln x \right)}^{2}}}\text{d}x}\)\(=\frac{1}{2}+\int\limits_{1}^{2}{\frac{x+1}{x{{\left( x+\ln x \right)}^{2}}}\text{d}x}\).
Đặt \(t=x+\ln x\Rightarrow \text{d}t=\frac{x+1}{x}\text{d}x\). Đổi cận \(x=1\Rightarrow t=1\) và \(x=2\Rightarrow t=2+\ln 2\).
Do đó \(I=\frac{1}{2}+\int\limits_{1}^{2}{\frac{x+1}{x{{\left( x+\ln x \right)}^{2}}}\text{d}x}\)\(=\frac{1}{2}+\int\limits_{1}^{2+\ln 2}{\frac{1}{{{t}^{2}}}\text{d}t}\)\(=\left. =\frac{1}{2}-\frac{1}{t} \right|_{1}^{2+\ln 2}\)\(=\frac{1}{2}+1-\frac{1}{2+\ln 2}\)\(=\frac{3}{2}-\frac{1}{2+\ln 2}\).
Vậy \(abc=3.2.2=12\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Phú Lâm
Câu hỏi liên quan
-
Tập nghiệm của bất phương trình \(({{3}^{2x}}-9)({{3}^{x}}-\frac{1}{27})\sqrt{{{3}^{x+1}}-1}\le 0\) chứa bao nhiêu số nguyên ?
-
Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho số phức \(z=-1-2\sqrt{6}i\). Phần thực và phần ảo của số phức \(\overline{z}\) là?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ -1;1 \right\}\), thỏa mãn \(f'\left( x \right)=\frac{2}{{{x}^{2}}-1};\ f\left( -3 \right)+f\left( 3 \right)=2\ln 2\) và \(f\left( -\frac{1}{2} \right)+f\left( \frac{1}{2} \right)=0\). Giá trị của biểu thức \(P=f\left( -2 \right)+f\left( 0 \right)+f\left( 4 \right)\) là:
-
Hàm số nào sau đây đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có tất cả các cạnh bằng nhau. Góc giữa hai đường thẳng \(A{B}'\) và \(C{C}'\) bằng
-
Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau:
-
Trong không gian \(Oxyz\), phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song và cách đều hai đường thẳng \({{d}_{1}}:\frac{x-2}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}\) và \({{d}_{2}}:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{-1}\) là
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(I\left( 1;-2;3 \right).\) Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho \(AB=2\sqrt{3}.\)
-
Trong không gian \(\text{Ox}yz\), đường thẳng \(d:\,\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{3}=\frac{z+4}{-2}\) đi qua điểm nào dưới đây?
-
Cho hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\). Lấy hai điểm \(A,B\) phân biệt thuộc \(a\) và hai điểm \(C,D\) phân biệt thuộc \(b\). Khi đó hai đường thẳng \(A\text{D}\) và \(BC\) ở vị trí
-
Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau:
-
Phương trình tiếp tuyến của đường cong \(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2\) tại điểm có hoành độ \({{x}_{0}}=1\) là
-
Đạo hàm của hàm số \(y={{8}^{x}}\) là
-
Cho số phức \(z\)thỏa mãn \(\left( 1+i \right)z=14-2i\). Tổng phần thực và phần ảo của \(\overline{z}\) bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA=a\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{3}^{{{x}^{2}}-13}}<27\) là
-
Cho \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y=\sqrt{3}{{x}^{2}}\), cung tròn có phương trình \(y=\sqrt{4-{{x}^{2}}}\) (với \(0\le x\le 2\)) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của \(\left( H \right)\) là
-
Cho hình chóp \(S.ABC\)có \(SA=a\) và \(SA\) vuông góc với đáy. Biết đáy là tam giác vuông cân tại \(A\) và \(BC=a\sqrt{2}\). Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( SBC \right)\).
-
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
