Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O', bán kinh đáy bằng chiều cao và bằng 2a. Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O' lấy điểm B. Đặt \(\alpha \) là góc giữa AB và đáy. Tính \(\tan \alpha \) khi thể tích khối tứ diện OO'AB đạt giá trị lớn nhất.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Lấy điểm \(A' \in \left( {O'} \right),B' \in \left( O \right)\) sao cho AA', BB' song song với trục OO'.
Khi đó ta có lăng trụ đứng OAB'.O'A'B.
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{V_{OO'AB}} = {V_{OAB'.O'A'B}} - {V_{A.O'A'B}} - {V_{B.OAB'}}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {V_{OAB'.O'A'B}} - \frac{1}{3}{V_{OAB'.O'A'B}} - \frac{1}{3}{V_{OAB'.O'A'B}} = \frac{1}{3}{V_{OAB'.O'A'B}}\\
\Rightarrow {V_{OO'AB}} = \frac{1}{3}.AA'.{S_{\Delta OAB'}} = \frac{1}{6}AA'.OA.OB.\sin \angle AOB'\\
= \frac{1}{6}.2a.2a.2a.\sin \angle AOB' = \frac{1}{6}.8{a^3}\sin \angle AOB' = \frac{{4{a^3}}}{3}\sin \angle AOB'
\end{array}\)
Do đó để \({V_{OO'AB}}\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \sin \angle AOB' = 1 \Leftrightarrow \angle AOB' = {90^0} \Leftrightarrow OA \bot OB'\).
\( \Rightarrow O'A' \bot O'B \Rightarrow \Delta O'A'B\) vuông tại \(O' \Rightarrow A'B = O'A'\sqrt 2 = 2a\sqrt 2 \).
Ta có
\(\begin{array}{l}
AA' \bot \left( {O'A'B} \right) \Rightarrow \angle \left( {AB;\left( {O'A'B} \right)} \right) = \angle ABA' = \alpha \\
\Rightarrow \tan \alpha = \frac{{AA'}}{{A'B}} = \frac{{2a}}{{2a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}
\end{array}\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Tìm tập S tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất cặp số (x;y) thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {4x + 4y - 6 + {m^2}} \right) \ge 1\) và \({x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 1 = 0\).
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} \right)^{2x + 1}} > 1\) (với a là tham số, \(a \ne 0\)) là
-
Tìm a để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\,\,\,khi\,\,\,x \ne 1\\
a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x = 1
\end{array} \right.\,\,\) liên tục tại điểm \(x_0=1\) -
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (0;2019) để \(\lim \sqrt {\frac{{{9^n} + {3^{n + 1}}}}{{{5^n} + {9^{n + a}}}}} \le \frac{1}{{2187}}\)?
-
Gọi \(x_0\) là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(3{\sin ^2}x + 2\sin x\cos x - {\cos ^2}x = 0\). Chọn khẳng định đúng?
-
Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_1=11\) và công sai d = 4. Hãy tính \(u_{99}\).
-
Tìm tập nghiệm của phương trình \({3^{{x^2} + 2x}} = 1\).
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trên đoạn \(\left[ { - 2018;2018} \right]\) để hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} - 2x - m + 1} \right)\) có tập xác định R.
-
Gọi n là số nguyên dương sao cho \(\frac{1}{{{{\log }_3}x}} + \frac{1}{{{{\log }_{{3^2}}}x}} + \frac{1}{{{{\log }_{{3^3}}}x}} + ... + \frac{1}{{{{\log }_{{3^n}}}x}} = \frac{{190}}{{{{\log }_3}x}}\) đúng với mọi x dương, \(x \ne 1\). Tìm giá trị của biểu thức \(P = 2n + 3.\)
-
Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{4\sqrt {3x + 1} - 3x - 5}}\).
-
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn [0;10] và \(\int_0^{10} {f\left( x \right)dx = 7} \) và \(\int_2^6 {f\left( x \right)dx = 3} \). Tính \(P = \int_0^2 {f\left( x \right)dx + \int_6^{10} {f\left( x \right)dx} } .\)
-
Xét các số thực dương x, y thỏa mãn \({\log _{\frac{1}{2}}}x + {\log _{\frac{1}{2}}}y \le {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + {y^2}} \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất \(P_{min}\) của biểu thức \(P = x + 3y\).
-
Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số đạt cực đại tại điểm nào trong các điểm sau đây?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên R có đồ thị của hàm số \(y=f'(x)\) như hình vẽ. Hỏi hàm số \(y=f(x)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
.png)
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp hai trên R. Biết \(f'\left( 0 \right) = 3,f'\left( 2 \right) = - 2018\) và bảng xét dấu của \(f''(x)\) như sau:
.PNG)
Hàm số \(y = f\left( {x + 2017} \right) + 2018x\) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm \(x_0\) thuộc khoảng nào sau đây?
-
Cho \(\int {2x{{\left( {3x - 2} \right)}^6}dx = A{{\left( {3x - 2} \right)}^8} + B{{\left( {3x - 2} \right)}^7} + C} \) với \(A,B,C \in R\). Tính giá trị của biểu thức 12A + 7B.
-
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = - {x^3} - 3{x^2} + m\) trên đoạn [- 1;1] bằng 0.
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên R thỏa mãn \(f\left( {2x} \right) = 3f\left( x \right),\,\forall x \in R\). Biết rằng \(\int_0^1 {f\left( x \right)dx = 1} \). Tính tích phân \(I = \int_1^2 {f\left( x \right)dx} \).
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{{x + 3}}\) trên đoạn [- 2;3] bằng
