Cho hình thang ABCD có \(\angle A = \angle B = {90^0},\,AB = BC = a,\,AD = 2a\). Tính thể tích khối nón tròn xoay sinh ra khi quay quanh hình thang ABCD xung quanh trục CD

A. \(\frac{{7\pi {a^3}}}{{12}}\)

B. \(\frac{{7\sqrt 2 \pi {a^3}}}{{12}}\)

C. \(\frac{{7\sqrt 2 \pi {a^3}}}{6}\)

D. \(\frac{{7\pi {a^3}}}{6}\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

Gọi A’, B’ lần lượt các điểm đối xứng A, B qua CD. H là trung điểm của BB’, ta dễ dàng chứng minh được C là trung điểm của AA’.

Gọi \(V_1\) là thể tích khối nón có chiều cao CD, bán kính đáy AC.

\(V_2\) là thể tích khối nón cụt có chiều cao CH, bán kính đáy nhỏ BH, bán kính đáy lớn AC.

\(V_3\) là thể tích khối nón có chiều cao CH, bán kính đáy BH.

Kẻ \(CK\bot AD\) suy ra ABCK là hình vuông \( \Rightarrow CK = KD = a\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông CKD ta có:

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC ta có:

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)

Tam giác vuông CKD vuông câm tại K \(\angle KDC = {45^0} \Rightarrow \angle BCH = {45^0} \Rightarrow \Delta BCH\)vuông cân tại H.

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow BH = CH = \frac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\\
\Rightarrow {V_1} = \frac{1}{3}\pi A{C^2}.CD = \frac{1}{3}\pi {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}a\sqrt 2 = \frac{{2\sqrt 2 \pi {a^3}}}{3}\\
{V_2} = \frac{1}{3}\pi CH\left( {B{H^2} + A{C^2} + BH.AC} \right) = \frac{1}{3}\pi .\frac{a}{{\sqrt 2 }}\left( {\frac{{{a^2}}}{2} + 2{a^2} + \frac{a}{{\sqrt 2 }}.a\sqrt 2 } \right) = \frac{{7\sqrt 2 \pi {a^2}}}{{12}}\\
{V_3} = \frac{1}{3}\pi B{H^2}.CH = \frac{1}{3}\pi .\frac{{{a^2}}}{2}.\frac{a}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\pi \sqrt 2 {a^3}}}{{12}}
\end{array}\)

Vậy thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang ABCD quanh trục CD là:

\(V = {V_1} + {V_2} - {V_3} = \frac{{2\sqrt 2 \pi {a^3}}}{3} + \frac{{7\sqrt 2 \pi {a^2}}}{{12}} - \frac{{\sqrt 2 \pi {a^2}}}{{12}} = \frac{{7\sqrt 2 \pi {a^3}}}{6}\)

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài