Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {f_1}(x), y = {f_2}(x)\) và hai đường thẳng \(x = a, x = b\) (phần gạch chéo trên hình). Tìm công thức tính diện tích của hình (H).

Cho hai số phức \(z_1, z_2\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} + 1 - 2i} \right| + \left| {{z_1} - 3 - 3i} \right| = 2\left| {{z_2} - 1 - \frac{5}{2}i} \right| = \sqrt {17} \). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {{z_1} - {z_2}} \right| + \left| {{z_1} + 1 + 2i} \right|\).

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(1;0;3), B(2;3; - 4) , C( - 3;1;2)\). Tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Cho \(\int\limits_a^b {f(x)\,{\rm{d}}x}  = 7\) và \(\int\limits_a^b {g(x)\,{\rm{d}}x}  =  - 3\). Tính \(\int\limits_a^b {{\rm{[}}f(x) + g(x){\rm{]}}\,{\rm{d}}x} \).

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với \(AB = a , AD = a\sqrt 2 \). Biết \(SA \bot (BCD)\), góc giữa SC và (ABD)  bằng \(60^0\). Thể tích khối chóp S.ABCD đã cho.

Biết bất phương trình \(({x^2} + 2x + 2)({x^2} + 2x + 4) \le 15\) tập nghiệm là \([a;b]\). Tính \(a+b\).

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(1;2; - 3), B( - 4;2;5) , M(m + 2;2n - 1;1)\) thẳng hàng. Tính m + n.

Gọi w là số phức tùy ý thỏa \(|z|  = 2\). Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z = 3w + 1 - 2i\) là một đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.

Hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?

Xét một hình chữ nhật có các cạnh thay đổi thay đổi và có diện tích bằng 961 m² nội tiếp trong một đường tròn. Gọi S là diện tích của phần hình phẳng nằm trong hình tròn nhưng nằm ngoài hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của S.

Cho \(a = {\log _2}5\). Tính \({\log _8}25\) theo \(a\).

Cho biết \(\int {x{e^{2x}}{\rm{d}}x = ax} {e^{2x}} + b{e^{2x}} + C\), (với \(a, b\) là các số hữu tỉ). Tính \(ab\).

Một cổng chào có dạng hình parabol với chiều cao 18 (m), bề rộng chân đế 12 (m). Người ta căng hai sợi dây trang trí AB và CD nằm song song với mặt đất, đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (như hình vẽ). Tính tỉ số \(\frac{{AB}}{{CD}}\).

Nhằm giúp đỡ sinh viên có hoàn cảnh khó khăn, Ngân hàng Chính sách xã hội địa phương đã hỗ trợ bạn sinh viên A vay 20 triệu đồng với lãi suất 12%/năm và ngân hàng chỉ bắt đầu tính lãi sau khi bạn A kết thúc khóa học của mình. Bạn A đã hoàn thành khóa học và đi làm với mức lương 5,5 triệu đồng/tháng, bạn A dự tính sẽ trả hết nợ gốc lẫn lãi suất cho ngân hàng trong 36 tháng. Hỏi số tiền mỗi tháng mà bạn A phải trả cho ngân hàng là bao nhiêu (triệu)?

Hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên R và thỏa mãn \(f(1) =  - 1, f'(x) \ge {x^4} + \frac{2}{{{x^2}}} - 2x{\rm{ }}\forall x > 0\). Khi đó, phương trình \(f(x)=0\) 

Tìm điểm cực tiểu của hàm số \(y = f(x)\) biết nó có đồ thị như hình bên.

Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Biết \(AB = a , SD = \frac{{3a}}{2}\), tính khoảng cách từ A đến (SBD).

Rút gọn biểu thức \(P = {x^{\frac{1}{6}}}.\sqrt[3]{x}\), (với x > 0).

Gọi \(a\) là số thực lớn nhất để bất phương trình \({x^2} - x + 2 + a\ln ({x^2} - x + 1) \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in R\). Tìm mênh đề đúng.

Tìm m để hàm số \(y = 2{x^3} - m{x^2} + 2x\) đồng biến trên khoảng (- 2;0).

Biết phương trình \({\log _3}({3^{2x - 1}} - {3^{x - 1}} + 1) = x\) có hai nghiệm \(x_1, x_2\) (với \(x_1<x_2\)). Tính giá trị của biểu thức \(P = \sqrt {{3^{{x_1}}}}  - \sqrt {{3^{{x_2}}}} \).