Cho hình nón đỉnh S có bán kinh đáy bằng \(2 \sqrt{3} a\). Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho AB=4 a. Biết khoảng cách từ tâm của đấy đến mặt phẳng (SAB) bằng 2a, thế tích của khối nón đã cho bằng.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(V=\dfrac{1}{3} S_d \cdot h=\dfrac{1}{2} \pi r^2 h\).
Tìm \(h=S O\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Khi đó \(\begin{cases} SI\perp AB\\OI\perp AB\end{cases}\), suy ra \(AB\perp (SOI)\) mà \(AB\subset (SAB)\Rightarrow (SAB)\perp (SOI)\).
Kẻ \(OH\perp SI\), ta có: \(\begin{cases} (SAB)\perp (SOI)\\(SAB)=SI\\OH\perp SI\end{cases}\), suy ra \(OH\perp (SAB)\). Suy ra \(d(O;(SAB))=OH=2a\).
Xét \(\Delta AOI\) vuông \(I\), suy ra \(OI=\sqrt{OA^2-AI^2}=\sqrt{OA^2-\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2}=\sqrt{\left(2\sqrt{3}a\right)^2-\left(\dfrac{4a}{2}\right)^2}=2\sqrt{2}a.\)
Xét \(\Delta SOI\) vuông tại \(S\).
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{I^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{{O{I^2} - O{H^2}}}{{O{H^2}.O{I^2}}} \Rightarrow S{O^2} = \frac{{O{H^2}.O{I^2}}}{{O{I^2} - O{H^2}}}\\
\Rightarrow SO = \frac{{OH.OI}}{{\sqrt {O{I^2} - O{H^2}} }} = \frac{{2a.2\sqrt 2 a}}{{\sqrt {{{\left( {2a\sqrt 2 } \right)}^2} - {{(2a)}^2}} }} = 2\sqrt 2 a
\end{array}\)
Vậy \(V=\dfrac{1}{3}S_{\text{đáy}}.h=\dfrac{1}{3}\pi r^2h=\dfrac{1}{3}\pi (OA)^2,SO=\dfrac{1}{3}\pi \left(2\sqrt{3}a\right)^2.2\sqrt{2}a=8\sqrt{2}\pi a^3\).
Đề thi minh họa tốt nghiệp THPT năm 2022 môn Toán
Bộ Giáo Dục và Đào Tạo